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拋物線上相異四點連接依序斜率為 m1, m2, m3, m4,求 m1-m2+m3-m4

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拋物線上相異四點連接依序斜率為 m1, m2, m3, m4,求 m1-m2+m3-m4

學校今天期末考,有題有趣的題目~

不知道除了小弟如下的做法之外,有沒有幾何上的做法,或是其他相關的性質呢?



題目:已知 \(A,B,C,D\) 為拋物線 \(y=x^2+x+1\) 上依序的相異四點,\(m_1, m_2, m_3, m_4\) 分別為 \(\overline{AB}, \overline{BC},  \overline{CD},  \overline{DA}\) 的斜率,則\(m_1-m_2+m_3-m_4\) 為何?


解答:

令 \(A(a,a^2+a+1), B(b, b^2+b+1), C(c,c^2+c+1), D(d^2+d+1)\),

可得 \(m_1=a+b+1, m_2=b+c+1, m_3=c+d+1, m_3=d+a+1\)

因此,\(m_1-m_2+m_3-m_4=0\)

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回復 1# weiye 的帖子

看到這個,小弟的直覺是差分

斜率就是在算差分,二次多項式,三次差分為 0

這個方向,應該也可以做出來吧,或許其實是一樣的
文不成,武不就

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回復 1# weiye 的帖子

改成拋物線是 \( y^2=4x \) 的結果呢??
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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回復 3# 老王 的帖子

所有的拋物線都是相似形...

平移,放大縮小不移響斜率,所以還是一樣

抱歉~眼殘,沒看清楚

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-27 11:37 PM 編輯 ]
文不成,武不就

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回復 4# tsusy 的帖子

我說的是把上下型轉成左右型,這樣不變嗎??
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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回復 5# 老王 的帖子

似乎有點了解老王老師的意思...如果是幾何做法或幾何性質,上對和左右不變

而上下變左右,斜率就是倒數,看起來似乎不太可能成立,來驗一下

\( x=y^{2}, (a^{2},a), (b^{2},b), (c^{2},c), (d^{2},d) \)

\( m_1-m_2+m_3-m_4 = \frac{1}{b+a}-\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+d}-\frac{1}{d+a} \)

取 \( (a,b,c,d)=(0,1,2,3)  \) 代入得  \( \frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{3} =\frac8{15} \)
也就不是不成立,這麼一來,要走幾何的方法證明似乎變得不太可能了?
文不成,武不就

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回復 6# tsusy 的帖子

是啊!!
其實只要有垂直的情況出現,那斜率為無限大的情況就要另外處理;
所以非函數形式的東東,應該都會有問題。
題外話:我好像從來沒把斜率當成幾何物件。
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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