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101彰化高中

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可以請教一下計算作圖第 6 題嗎? 謝謝!!

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   永無止境的追尋

玩弄數學  而不是被數學玩弄

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回復 32# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師提醒!
已解出!!!
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對於計算5 小弟有個問題請教

我第一眼的想法 是發現t=1,2,3 三根和為6
為(t+2011)(t+2012)x+(t+2012)(t+2013)y+(t+2013)(t+2014)z=t^2 的三根
但這是一個2次方程 頂多兩根
但如果把尾部的常數改成 1 8 27
即可用這方法搭配根與係數求出x+y+z

想請問的是如果是原題目的數字,是否就不能用上述的方法,只能用橢圓老師的方法
又或者是我有哪邊的細節沒考慮到

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你的觀察很敏銳
\((t+2011)(t+2012)x+(t+2012)(t+2013)y+(t+2013)(t+2014)z=t^2\)是一個二次方程式,卻有\(t=1,2,3\)三個根
代表原方程式是個恆等式,將原方程式重新整理成\((x+y+z)t^2+(\ldots)t+(\ldots)=t^2\)比較\(t^2\)係數可得\(x+y+z=1\)

把尾部的常數改成1,8,27
\((t+2011)(t+2012)x+(t+2012)(t+2013)y+(t+2013)(t+2014)z=t^3\)是一個三次方程式,三根為\(t=1,2,3\)
就不是恆等式了,此時才用根與係數求出\(x+y+z\)
同樣技巧的類似問題整理在這裡https://math.pro/db/viewthread.php?tid=919&page=1#pid1944

若實數\(a,b,c\)滿足\( \displaystyle \frac{a}{5}+\frac{b}{8}+\frac{c}{11}=\frac{a}{6}+\frac{b}{9}+\frac{c}{12}=\frac{a}{7}+\frac{b}{10}+\frac{c}{13}=1 \),則\( a+b+c \)?(A)18 (B)24 (C)27 (D)30
也可以問上面題目要怎麼改才會變成用恆等式求\(a+b+c\)的值。

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感謝bugmens老師的指點 豁然開朗

試著推導了一下常數為1 16 81 的情形
令t=1,2,3,d為
(t+2011)(t+2012)x+(t+2012)(t+2013)y+(t+2013)(t+2014)z=t^4 的四根
整理得t^4 -(x+y+z)t^2 +...t+...=0
由根與係數知d=-6
-(x+y+z)=-25
所以x+y+z=25 經過驗證相同

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