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請教兩題1.求線段比 2.拋物線與圓上點的最短距離

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請教兩題1.求線段比 2.拋物線與圓上點的最短距離

請教兩題
(1) 在ΔABC的 BC上取D,E兩點,使得BD=DE=EC 。又在AB 上取一點G,使得AG=2*GB 。設F為AC之中點,而DF 與 EG交於H,求EH:HG

(2) 設P為拋物線y^2 =4x上一點,Q為圓(x–3)^2+y^2 = 1上一點,求PQ 之最小值及此時Q點的坐標

謝謝

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回復 1# arend 的帖子

題目:(1) 在ΔABC的 BC上取D,E兩點,使得BD=DE=EC 。又在AB 上取一點G,使得AG=2*GB 。設F為AC之中點,而DF 與 EG交於H,求EH:HG

解答:

  

若將 \(F\) 與 \(\overline{DE}\) 的中點 \(I\) 連線,顯然 \(\overline{AB}//\overline{FI}\)

因此,\(\overline{FD}\) 與 \(\overline{AB}\) 的延長線會有交點,

  

設 \(\overline{FD}\) 與 \(\overline{AB}\) 的延長線交於點 \(P\),

  

如上圖,用孟氏定理(式子就不詳列了)


可得 \(\overline{AB}=\overline{BP}\Rightarrow\overline{BP}=3\overline{BG}\)

  

如上圖,用孟氏定理(式子就不詳列了)


可得 \(\overline{EH}:\overline{HG}=3:4.\)

註:另外也可以坐標化,或是用向量,也是好方法。

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回復 1# arend 的帖子

題目:(2) 設P為拋物線y^2 =4x上一點,Q為圓(x–3)^2+y^2 = 1上一點,求PQ 之最小值及此時Q點的坐標

分析:

設 \((x–3)^2+y^2=1\) 的圓心為 \(O\),


  


對於任意的動點 \(P\),當 \(Q\) 位在 \(\overline{OP}\) 與圓的交點上時,

\(\overline{PQ}\) 會有最小值為 「\(\overline{OP}-\mbox{圓的半徑}\)」。

因此只要先找拋物線上哪點距離圓心 \(O\) 最接近就可以了。




答案:




設 \((x–3)^2+y^2=1\) 的圓心為 \(O\),

拋物線上動點 \(P(t^2, 2t)\),其中 \(t\) 為實數,

\(\displaystyle \overline{OP}^2=(t^2-3)^2+(2t-0)^2=t^4-2t^2+9=\left(t^2-1\right)^2+8\)

因此,當 \(\displaystyle t^2=1\),即 \(\displaystyle t=\pm1\) 時,

\(\overline{OP}\) 會有最小值為 \(2\sqrt{2}\),

此時 \(Q\) 位在 \(\overline{OP}\) 與圓 \((x–3)^2+y^2=1\) 的交點上,

亦會使得 \(\overline{PQ}\) 有最小值。

當然,已知 \(O,P\) 點坐標,也知道 \(\overline{OP}, \overline{OQ}\) 的長度,

就可以利用分點公式,得 \(Q\) 點坐標了。

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回復 3# weiye 的帖子

謝謝瑋岳老師
第一題我沒想到用延長線
感激不盡

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感謝瑋岳老師

小弟我也獲益良多^^

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