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平面夾角問題

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平面夾角問題

我們說這種題目,答案會有兩個,因為在平面兩邊均可造成60度
但現在居然解出的情況是重根,那麼另外那個平面呢??如何表示??....消失了嗎??
以上是我的問題~~請各位協助幫忙!!謝謝


平面\( E_1 \):\( x-y+2z=7 \)與\( E_2 \):\( x+ky-z=1 \)的夾角之一為\( 60^{\circ} \),求\( k= \)?
[解答]
\( E_1 \)的法向量為\( (1,-1,2) \),\( E_2 \)的法向量為\( (1,k,-1) \)
\( \displaystyle \frac{(1,-1,2)\cdot (1,k,-1)}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{k^2+2}}=\pm cos 60^{\circ}=\pm \frac{1}{2} \) ⇒ \( k^2-4k+4=0 \) ⇒ \( (k-2)^2=0 \) ⇒ \( k=2 \)

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回復 1# maddux0706 的帖子

1. 在空間中與固定向量 \((1,-1,2)\) 夾 \(60^\circ\) 角的~

 不是只有兩個方向而已~而是有無限多個方向。

 但 \((1,k,-1)\) 向量已有兩個分量(\(x\)分量與\(z\)分量)被固定住了,它不是任意向量喔!


2. 在空間中,若向量 \((1,k,-1)\) 與固定向量 \((1,-1,2)\) 夾角為 \(\theta\),

 則可由柯西不等式算出此夾角 \(\theta\) 的最小值恰為 \(60^\circ\)



 如附圖,\(O\) 為原點,\(B(1,-1,2).\),\(A(1,k,-1)\) 在直線 \(L:\left\{\begin{array}{c}x=1\\ z=-1\end{array}\right.\) 上移動,

 圖中的平面為包含 \(L\) 與 \(O\) 的所在平面。

ps. 小小見解,期待其他先進能夠提供適切的說明。先說聲感謝。:)

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