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求級數,1^2+3^2+5^2+.......+(n-1)^2=?

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求級數,1^2+3^2+5^2+.......+(n-1)^2=?

請叫一個級數問題
1^2+3^2+5^2+.......+(n-1)^2
和的公式

謝謝

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上式的最後一項該是(2n-1)^2吧
sigma(k=1,n)(2k-1)^2=sigma(k=1,n)(4k^2-4k+1)=...

[ 本帖最後由 yangyang314159 於 2011-11-5 11:14 AM 編輯 ]

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謝謝
我看到這個以為從1^2+2^2+...+n^2去推導的

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回復 3# arend 的帖子

可從它推導也可以

只要把奇數項,看成全部減去偶數項就可以了

而偶數項,提出 4 後,又變成長的一樣的級數了
文不成,武不就

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tsusy老師
謝謝你的提示

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這種玩法,其實本來是拿來玩無窮級數…
以前大學時代學複變函數時,在玩的,例子如下:

\( \sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\Rightarrow\sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{24}\Rightarrow\sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{12} \)。

\( \sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}=\frac{\pi^{4}}{90}\Rightarrow\sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^{4}}=\frac{\pi^{4}}{1440}\Rightarrow\sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^{4}}=\frac{7\pi^{4}}{720} \)。

\( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{6}}=\frac{\pi^{6}}{945} \)。

只記到六方而已,八方以上的請找 Wolframe Alpha
文不成,武不就

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