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多項式問題

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多項式問題

\(x\)是正整數      多項式函數\(f(x)\)

\(f(x)=x^5+7x^4+7x^3+7x^2+7x+6\)

請問\(x\)為何時會讓\(f(x)\)為完全平方數

想了幾天了   都沒想出來

感謝

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x是正整數,多項式函數\( f(x)=x^5+7x^4+7x^3+7x^2+7x+6 \)
請問x為何時會讓\( f(x) \)為完全平方數
[提示]
\( x^5+7x^4+7x^3+7x^2+7x+6=(x+6)(x^4+x^3+x^2+x+1) \)
\( x+6 \)和\( x^4+x^3+x^2+x+1 \)互質,設\( x+6=p^2 \),\( x^4+x^3+x^2+x+1=q^2 \),\( p,q \in N \)

解\( x^4+x^3+x^2+x+1=q^2 \)的不定方程式可得\( (x,q)=(3,11) \)
(其他的整數解為\( (-1,±1) \),\( (0,±1) \)這讓你解看看)
剛好\( x+6=p^2 \)也為完全平方數
所以\( x=3 \)

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感謝提示

考慮  (2q)^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4

可知  (2x^2+x)^2<(2q)^2<(2x^2+x+2)^2     x為正整數

所以  (2q)^2=(2x^2+x+1)^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4

可得   x=3

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