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99桃園縣國中聯招

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99桃園縣國中聯招

其中第 12 題頗有挑戰,與大家分享!
12.
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}\tan\frac{\theta}{2^n}=? \)

附件

桃園縣99年國民中學教師甄選數學科試題.pdf (296.45 KB)

2011-7-16 21:17, 下載次數: 2693

數學科答案.pdf (178.93 KB)

2011-7-16 21:17, 下載次數: 2670

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12 題,選項錯了四個選項都錯,理由: \( \theta = \pi/4 \) 帶入, 1-4 皆錯。

公布答案為 (C),其正確選項應為 \( -2\cot2x+\frac{1}{x} \)

計算方法如下:

把其逐項積分得 \( -\log |\cos \frac{x}{2^n} |\) 之和。

對數相得變相乘 \( \prod \cos \frac{x}{2^n} \) 可用有限項乘上一個 sin 給它,求出有限項之和,

取極限 得 \( \prod \cos \frac{x}{2^n} = \frac{\sin2x}{2x}\),當 \( x \neq 0\)

然後微分,微回來就會得到 \( -2\cot2x+\frac{1}{x} \)

中間涉及,微分和 sum 兩個極限的交換,需要均勻收斂之條件。
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