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100松山高中代理一題

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100松山高中代理一題

100年的松山高中代理裡有一題大意是問說
在99課綱中學生學到相關係數時,因為那時尚未
學到科西不等式,所以請問您要如何跟學生講解
相關係數的值是-1<= r <=1?
請問老師這個問題該如何回答?
謝謝!

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可惜松山高中都沒在公佈題目的,其實這題出的很漂亮,感謝有你分享題目

令\( \displaystyle f(t)=\sum_{i=1}^{n} \Bigg[\; (x_i-\overline{x})t-(y_i-\overline{y}) \Bigg]\;^2 \)
每一項都是平方,所以\( f(t)\ge 0 \)

將\( f(t) \)展開得
\( \displaystyle f(t)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2 t^2-2 \sum_{i=1}^{n} (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})t+\sum_{i=1}^{n} (y_{i}-\overline{y})^2 \ge 0 \)

且\( t^2 \)係數\( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (x_i-\overline{x})^2 \)為正,且\( f(t)\ge 0 \),所以判別式\( D=b^2-4ac \le 0 \)

4 \( \displaystyle \Bigg(\; \sum_{i=1}^{n} (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) \Bigg)\;^2-4 \sum_{i=1}^{n} (x_i-\overline{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i-\overline{y})^2 \le 0 \)

\( \displaystyle 1 \ge \frac{\Bigg(\; \sum_{i=1}^{n} (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) \Bigg)\;^2}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i-\overline{y})^2} \)

\( -1 \le r \le 1 \)


建中林信安老師還提供了向量的觀點,只是在哪個檔案就留給各位當功課
http://math1.ck.tp.edu.tw/林信安/math.htm
可惜99課綱的平面向量在數學III,相關係數在數學II,否則向量的方法比較漂亮

感謝,我把t補上

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-7-15 09:24 PM 編輯 ]

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謝謝老師的解答!
實在是沒想到要這樣令f(t)...
又老師您那f(t)的展開式中,好像少打了一個t
再次感謝!!!

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回復 2# bugmens 的帖子

請問bugmens大 f(t)的想法是怎麼來的呢
我目前約可看出是(xi−x)t−(yi−y)的型式像是迴歸直線方程式
不知想法是否從迴歸直線所產生出來的呢

因為我覺得對於學生來說,這個說法的確沒有比向量來的漂亮,
以及好說明

謝謝

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