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100中正預校

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100中正預校

1.平行四邊形ABCD,P為內部一點,三角形PAB面積 =2,三角形PBC面積=5,求三角形PBD的面積?


2.試證任意五個正整數必有三數和為三的倍數

我想問這兩題,謝謝

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第 2  題:對於任意五個整數,被三除的餘數只有可能為 0,1,2
    case i: 若此五數被三除的餘數是 0,1,2 三類的餘數都有,則
        因為 \(3k_1+(3k_2+1)+(3k_3+2)\equiv 0\pmod3,\)
        所以,必有三數和為三的倍數。

    case ii: 若此五數被三除的餘數至多只有兩類,
        則由鴿籠原理,至少有一類的個數會有三個或三個以上,
        不管是哪一類的個數有三個以上,
        因為 \(3k_1+3k_2+3k_3\equiv 0\pmod3,\)
           \((3k_1+1)+(3k_2+1)+(3k_3+1)\equiv 0\pmod3,\)
           \((3k_1+2)+(3k_2+2)+(3k_3+2)\equiv 0\pmod3,\)
        所以,必有三個數字的和為三個倍數。

延伸:https://math.pro/db/thread-538-1-1.html

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第1題:
設平行四邊形面積 = A
由\( PAD +  PBC = \frac{A}{2} ; BAD = \frac{A}{2} \)
PBD =  BAD -  PAD -  PAB
\( = \frac{A}{2} - (\frac{A}{2}-5) -2 \)
=3

[ 本帖最後由 紫月 於 2011-6-16 01:01 AM 編輯 ]

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回復 3# 紫月 的帖子

為什麼PAD+PBC = A/2 ??

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ΔPAD+ΔPBC = (1/2)*AD*PE + (1/2)*BC*PF =(1/2)*BC*(PE+PF) = (1/2)*BC*EF = (1/2)*平行四邊形ABCD

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感謝瑋岳老師的說明,有圖形非常清楚!

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