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1至9中任選3數排成三位數,且形成3的倍數,求所有的總和?

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1至9中任選3數排成三位數,且形成3的倍數,求所有的總和?

網友 Ellipse 問的問題~好問題要一起討論比較有趣~^__^

題目:從1~9的數中,任選3個成為三位數.若三位數為3的倍數,求所有的總和?


解答:

分成

case i: 3k, 3k, 3k 型~數字只能取自 3,6,9

case ii: 3k+1, 3k+1, 3k+1  型~數字只能取自 1,4,7

case iii: 3k+2, 3k+2, 3k+2 型~數字只能取自 2,5,8

case iv: 3k, 3k+1, 3k+2 型~

     數字來自 3,6,9 任取一,搭配 1,4,7 任取一,搭配 2,5,8 任取一


討論可得

個位數字和為 \((1+2+3+4+5+6+7+8+9)(C^2_2\cdot 2!+C^3_1\cdot C^3_1\cdot 2!)\)

十位數字和為 \((1+2+3+4+5+6+7+8+9)(C^2_2\cdot 2!+C^3_1\cdot C^3_1\cdot 2!)\cdot 10\)

百位數字和為 \((1+2+3+4+5+6+7+8+9)(C^2_2\cdot 2!+C^3_1\cdot C^3_1\cdot 2!)\cdot 100\)

然後再加起來為 99900.






另解,

先算滿足條件的會有 \(3!+3!+3!+C^3_1C^3_1C^3_1 3!=180\) 個三位數,

其中 case iv 中最小與最大的和為 \(123+987=1110\)

  case i, ii, iii 中最小與最大的和亦為 \(147+963=1110\)

  可以發現 case iv 中可以兩兩配對,使其和為 \(1110\),

  而case i, ii, iii 中,亦可以兩兩配對,使其和為 \(1110\),

故,其總和為 \(\displaystyle 1110\times180\times\frac{1}{2}=99900\) 。



^__^

註:剛剛發現原來這題是 100台南二中的考題(https://math.pro/db/thread-1101-1-1.html)。

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所以可以這樣做囉
總和=平均數*項數
       =1/2*(最小值+最大值)*項數
       =1/2*(123+987)*180
       =99900

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回復 2# Ellipse 的帖子

沒錯~^__^

所以可以兩兩配對。 ^__^

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