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利用多項式的微分與1的n次方根解題

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利用多項式的微分與1的n次方根解題

偶爾逛 PTT 在數學版看到有人問一題如下:

  令 \(\displaystyle\omega=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\),

  求 \(\displaystyle\frac{1}{2-\omega}+\frac{1}{2-\omega^2}+\frac{1}{2-\omega^3}+\frac{1}{2-\omega^4}\) 之值?

以下將我在 PTT 的解答轉錄如下:




解答:

令 \(\displaystyle f(x)=x^5-1\),則  \(\displaystyle f(x)=\left(x-1\right)\left(x-\omega\right)\left(x-\omega^2\right)\left(x-\omega^3\right)\left(x-\omega^4\right)\)  ────*




因為 \(\displaystyle\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-\omega}+\frac{1}{x-\omega^2}+\frac{1}{x-\omega^3}+\frac{1}{x-\omega^4}=\frac{f'(x)}{f(x)}\)

   (解釋一下上式,將左邊通分,會發現它與右邊的 \(f(x)\) 用 * 帶入分子的微分與分母,是相同的。

    用數學一點的方式描述的話就是:

    若 \(\displaystyle f(x)=\prod_{i=1}^n\left(x-a_i\right)\),則 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{1}{x-a_i}=\frac{f'(x)}{f(x)}.\) )




所以,將 \(x=2\) 帶入可得 \(\displaystyle1+\mbox{(所求)}=\frac{f'(2)}{f(2)}\)

故,\(\displaystyle\mbox{所求}=\frac{f'(2)}{f(2)}-1=\frac{49}{31}.\)



註:或是要直接令 \(f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1\),則所求 \(\displaystyle=\frac{f'(2)}{f(2)}.\) 亦可。








來一題類題:(敝校某校內競賽曾考過的一題)

若方程式 \(2{{x}^{4}}-16{{x}^{3}}+44{{x}^{2}}-48x+17=0\) 的四個實根分別為 \(a,b,c,d\),試求方程式 \(\displaystyle\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}+\frac{1}{x-d}=0\) 的三個實根由小至大分別為?答案:\(1,2,3\)

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