一、填充題
1.
小屏閒暇時將面額為1元和2元兩種郵票貼成一排，考慮其排列順序，設共貼\(n\)元時有\(a_n\)種貼法，試求出其遞迴式。
2.
在同一平面上，有一行星繞一恆星運轉，此行星的軌道為\(\displaystyle\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)，另有一飛碟靠近，此飛碟軌道為\(x+y=20\)。試求飛碟行進路線與行星軌道的最短距離。
3.
兩列火車在一條軌道上對開，最初兩列火車頭相距100公里，而火車的速率是每小時50公里。假設有隻蒼蠅，飛行速率是每小時75公里。從一列火車頭往前飛，在到達另一列火車的火車頭之後立刻折返飛行，再碰到原先的火車頭之後又立刻折返飛行，則火車相撞的時候，這蒼蠅來來回回，總共飛了
公里。
4.
半徑為1的兩個圓相疊如右圖，若相疊後區域周長為\(\displaystyle\frac{11}{3}\pi\)，面積為\(a+b\pi\)，其中\(a,b\)均為有理數，試問\(a+b=\)
。
5.
如圖所示，\(A\)、\(C\)為二次函數\(y=4x-2x^2\)上的兩相異點，\(B\)、\(D\)為直線\(y=x\)上的兩相異點，若\(ABCD\)為正方形，且點\(A\)的坐標為\((a,b)\)，試問\(a+b=\)
。
6.
設\(k\)為實數，使得方程組\(\begin{cases}10x+\sqrt{6}y=kx\\4\sqrt{6}x+12y=ky\\(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1\end{cases}\)有實數解，則\(k=\)
。
7.
已知複數\(z\)滿足\(z-\overline{z}=3i\)（其中\(\overline{z}\)為\(z\)的共軛複數，\(i=\sqrt{-1}\)），試求\(|\sqrt{11}+5i-z|\)的最小值為
。
8.
將屏中校歌開頭「美哉屏中美哉屏中」這8個字全取排成一列，其中「屏」與「中」兩字不相鄰之排法有
種。
9.
設\(A(-1,-2),B(3,1)\)為坐標平面上二點。圓\(C\)方程式為\(x^2+y^2-6x-4y+9=0\)，若\(P(a,b)\)為圓\(C\)上任一點，求\(\vec{AP}\cdot\vec{AB}\)的最小值為
。
10.
有78個數據依規則排列如下：\(\displaystyle\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{3}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{4}{4},\dots,\frac{1}{12},\frac{2}{12},\dots,\frac{12}{12}\)則中位數為
。
(類似問題，問平均數和標準差
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2441&page=1#pid14824)
二、計算證明題
1.
設\(P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2})\)均在\(\displaystyle y=x-\frac{1}{3}x^3\)上，已知以\(P,Q\)為切點之切線互相平行，且兩直線相距\(\displaystyle\frac{8}{3}\)，若\(x_1<x_2\)，則以\(P\)為切點之切線方程式為何？
2.
設正四面體\(P-ABC\)的高為\(\overline{PO}\)，\(M\)為\(\overline{PO}\)的中點，過\(\overline{AM}\)作與稜\(\overline{BC}\)平行的平面，將正四面體截成上下兩部分，令含\(P\)點的部分為上部分且體積為\(m\)，另一部分體積為\(n\)，試求\(\displaystyle\frac{m}{n}\)。
3.
\(a,b,c\in\mathbb{N}\)，若\(a,b,c\)為偶數的機率均為\(p\)，\(ab+c\)為奇數的機率是\(f(p)\)，試證明\(\displaystyle f(p)>\frac{1}{2}\)時，\(p\)的範圍在\(\displaystyle1-\frac{\sqrt{2}}{2}<p<\frac{1}{2}\)。
4.
設\(f(x)\)為實係數多項式函數，且\(\displaystyle xf(x)=3x^4-2x^3+x^2+\int_{1}^{x}f(t)dt\)對\(x\ge1\)恆成立。試回答下列問題：
(1)試求\(f(1)\)。
(2)試求\(f(x)\)。
(3)試證明恰有一個大於1的正實數\(a\)滿足\(\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)dx=1\)。
(115大安高工，
https://math.pro/db/thread-4083-1-1.html)
5.
在坐標平面上，直線\(L\)是過原點且斜角為\(\theta\)的直線。若點\(P(x,y)\)對直線\(L\)鏡射得點\(P^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime})\)，即：\(\begin{bmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{bmatrix}=M\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\)此時\(M\)稱為鏡射矩陣，試證明此鏡射矩陣為\(\begin{bmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\\sin2\theta&-\cos2\theta\end{bmatrix}\)
