選擇題
1.
已知\(x\)，\(y\)，\(z\)皆為實數，滿足\(x+y+z=3\)，且\(x-y=1\)。試問\(x^2+y^2+z^2\)的最小值為何？
(A)3 (B)\(\displaystyle\frac{7}{2}\) (C)4 (D)\(\displaystyle\frac{9}{2}\)
2.
若\(\displaystyle x^2+2x+6=5\sqrt{x^2+2x+12}\)有二個實根，求這二個實根的和為
(A)\(-6\) (B)4 (C)2 (D)\(-2\)
3.
某校數學科辦公室有一條規定：「如果今天下午有召開教學研討會，則所有數學老師都不能請假。」若已知此敘述為真，則下列哪一個敘述必為真？
(A)若今天下午所有數學老師都沒請假，則今天下午一定有召開教學研討會
(B)若今天下午沒有召開教學研討會，則數學老師們可以請假
(C)若今天下午有一位數學老師請假了，則今天下午一定沒有召開教學研討會
(D)只有在召開教學研討會時，數學老師才不能請假
4.
甲、乙、丙三人中有一人打破教室窗戶，老師詢問三人是誰打破，三人分別做以下回答：甲說「是乙打破的」，乙說「是丙打破的」，丙說「乙在說謊」。若已知三人中恰有一人說實話，則打破教室窗戶的人是哪位？
(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)無法判斷
5.
滿足絕對值不等式\(|x+5|+|x-3|\le12\)的整數\(x\)共有幾個？
(A)9 (B)11 (C)13 (D)15
6.
設\(f(x)\)為一個實係數多項式，且\(f(x)\)除以\(x-1\)的餘式為3，除以\(x-2\)的餘式為5，求\(f(x)\)除以\((x-1)(x-2)\)的餘式。
(A)\(2x+1\) (B)\(2x-1\) (C)\(x+2\) (D)\(3x-1\)
7.
設\(x\)，\(y\)為正實數，且\(2x+3y=12\)，求\(x^2y^3\)的最大值。
(A)72 (B)32 (C)\(\displaystyle\frac{12^5}{2^3 3^3}\) (D)\(\displaystyle \left(\frac{12}{5}\right)^5\)
8.
求方程式\(\displaystyle\log_{2}(4-x^{2})-\log_{2}x=3\)的實數解個數。
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
9.
求\((1+x^2)^2(1+x)^{10}\)的展開式中，\(x^4\)項係數。
(A)255 (B)300 (C)301 (D)302
10.
將5本不同的書全部分給甲、乙、丙三人，每人至少得一本，共有幾種分法？
(A)243 (B)540 (C)125 (D)150
11.
若\(\displaystyle f(x)=\int_{-x}^{x}\sin s ds\)，則\(f^{\prime}(1)=\)
(A)0 (B)\(\sin1\) (C)\(2\sin1\) (D)\(-\sin1\)
12.
設\(a\in\mathbb{R}\)，若空間中兩直線\(L_1\)：\(\displaystyle\frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z+2}{a}\)與\(L_2\)：\(\displaystyle\frac{x}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{2}\)交於一點，求\(a\)的值。
(A)\(-1\) (B)1 (C)\(-2\) (D)2
13.
袋中有4白球、3黑球，從中取球，每次取一球，取後不放回，直到黑球取完為止。求黑球比白球先取完的機率。
(A)1 (B)\(1/2\) (C)\(3/7\) (D)\(4/7\)
14.
\(\Delta ABC\)滿足\(\sin A:\sin B=3:5\)，外接圓半徑與內切圓半徑的比值為\(14/3\)，且其周長為30，求此三角形面積。
(A)\(15\sqrt{3}\) (B)\(12\sqrt{3}\) (C)\(30\sqrt{3}\) (D)24
15.
設\(x\in\mathbb{R}\)，求\(\sin^2x-4\sin x+5\)的最小值。
(A)1 (B)2 (C)5 (D)10
16.
橢圓\(3x^2+2y^2+xy=8\)在點\((0,2)\)的切線斜率為
(A)\(\displaystyle-\frac{1}{4}\) (B)4 (C)\(-4\) (D)\(-2\)
17.
\((G,*,e)\)若是代數中的一個群，\(*\)是其中的二元運算，\(e\)是運算的單位元(identity)，下列何者不一定對？
(A)任意\(a\in G\)，一定存在\(b\in G\)使得\(a*b=b*a=e\)
(B)若\(a\)，\(b\in G\)，則\(a*b=b*a\)
(C)若\(a\)，\(b\)，\(c\in G\)，則\((a*b)*c=a*(b*c)\)
(D)若\(a\)，\(b\in G\)且\(a*b=e\)，則\(b*a=e\)
18.
考慮複數平面，若\(i\)是虛數，\(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(1+i)^{2k}z^{k}\)收斂半徑是
(A)\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) (B)\(\displaystyle\frac{1}{2}\) (C)2 (D)\(\sqrt{2}\)
19.
下列何者是微分方程式\(y^{\prime}=2xy^2\)，\(y(1)=1\)的解？
(A)\(\displaystyle\frac{1}{2-x^2}\) (B)\(-x^2+2\) (C)\(x^2-2\) (D)\(\displaystyle\frac{1}{x}\)
20.
複數\(z_1\)，\(z_2\)滿足\(|z_1|=2\)，\(|z_2|=3\)，且\(Arg(z_1)-Arg(z_2)=120^{\circ}\)，求\(|z_1+z_2|\)。
(A)\(\sqrt{19}\) (B)\(\sqrt{13}\) (C)\(\sqrt{7}\) (D)5
21.
設數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，當\(n\ge1\)時，\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{2}a_{n}+3\)，求最小\(n\)使得\(|a_n-6|<10^{-3}\)。
(A)13 (B)14 (C)15 (D)16
22.
求\(\displaystyle\sum_{n=1}^{50}\sin\frac{n\pi}{3}\cos\frac{n\pi}{4}\)之值。
(A)0 (B)\(\sqrt{6}/4\) (C)\((\sqrt{6}+\sqrt{2})/4\) (D)\((\sqrt{6}+\sqrt{3})/4\)
23.
設\(a,b\in\mathbb{R}\)，方程式\(x^3+x^2+ax+b=0\)其三根在複數平面上形成一個三角形的三頂點，此三角形面積為24，已知此方程式的其中一根為5，求\(a+b\)。
(A)\(-98\) (B)98 (C)102 (D)\(-102\)
24.
已知五位數\(32a18\)可被9整除，求\(a\)的值。
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
25.
求\(2^{3^{100}}\)除以5的餘數。
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
26.
設\(n\in\mathbb{N}\)，\(n\)除以5的餘數為2，除以7的餘數為3，求\(n\)除以35的餘數。
(A)5 (B)10 (C)17 (D)31
27.
設\(n\in\mathbb{Z}\)，若\(\displaystyle\frac{3n+2}{2n-1}\in\mathbb{Z}\)，求所有可能的\(n\)的總和。
(A)\(-4\) (B)\(-2\) (C)4 (D)2
28.
求小於等於2026且與2026互質的正整數個數。
(A)1011 (B)1012 (C)1013 (D)2025
29.
設\(a\)，\(b\in\mathbb{N}\)，且存在正整數\(q_1\)，\(q_2\)，\(q_3\)，\(r_1\)，\(r_2\)，使得\(a=bq_1+r_1\)，\(b=r_1q_2+r_2\)，\(r_1=r_2q_3\)。下列何者為\(a\)，\(b\)的最大公因數？
(A)\(r_1\) (B)\(r_2\) (C)0 (D)\(q_3\)
30.
關於\(100!=1\times2\times3\times\dots\times100\)，下列何者正確？
(A)\(100!\)的末尾連續出現20個0
(B)若\(100!\)能被\(3^k\)整除，則整數\(k\)的最大值為33
(C)\(100!+1\)的質因數必大於100
(D)\(100!\)為完全平方數
31.
已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\)，求\(A^4-5A^3+3A^2+7A=\)
(A)\(\begin{pmatrix}10&12\\48&22\end{pmatrix}\) (B)\(\begin{pmatrix}22&11\\44&31\end{pmatrix}\) (C)\(\begin{pmatrix}24&12\\48&36\end{pmatrix}\) (D)\(\begin{pmatrix}22&12\\48&34\end{pmatrix}\)
32.
設\(n\)為正整數，\(V\)為所有\(n\times n\)實矩陣所構成的向量空間，若\(W=\{A\in V|A^{T}=A\}\)為\(V\)的子空間，求\(W\)的維度。
(A)\(n^{2}\) (B)\(\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}\) (C)\(\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\) (D)\(n\)
33.
設\(A\)為一個\(3\times2\)階的矩陣，\(B\)為一個\(2\times3\)階的矩陣，且\(AB=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)，下列何者為真？
(A)\(tr(BA)=2\) (B)\(det(AB)=1\) (C)\(A\)是可逆矩陣 (D)\(BA\)為零矩陣
34.
求\(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^3x\cos x dx\)之值。
(A)1 (B)\(\displaystyle\frac{1}{2}\) (C)\(\displaystyle\frac{1}{4}\) (D)0
35.
已知平面一曲線的參數方程式為\(x=e^t\)，\(y=t^2\)，求此曲線在\(t=2\)時的二階導數\(\displaystyle\frac{d^2 y}{dx^2}\)。
(A)\(2e^{-2}\) (B)\(-2e^{-2}\) (C)\(-2e^{-4}\) (D)0
36.
設\(A\)表曲線\(y=\sqrt{x}\)、\(x\)軸以及\(x=4\)所圍成的封閉區域，求\(A\)繞\(x\)軸旋轉一周所形成的旋轉體體積。
(A)\(2\pi\) (B)\(4\pi\) (C)\(6\pi\) (D)\(8\pi\)
37.
求極限\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{2(n+2i)^{3}}{n^{4}}\right)\)。
(A)10 (B)20 (C)40 (D)80
38.
設\(\displaystyle f(x)=\int_{0}^{\sin x}e^{-t^2+1}dt\)，求\(f^{\prime}(0)\)。
(A)\(e\) (B)\(e^2\) (C)0 (D)1
39.
已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\)，若\(A^{10}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\)，求\(a_{12}\)。
(A)5120 (B)1 (C)10 (D)1024
40.
設\(k\)，\(r\in\mathbb{R}\)，下列對於\(x\)，\(y\)，\(z\)的三元一次方程組\(\begin{cases}x+y+z=1\\x+2y+3z=2\\2x+3y+kz=r\end{cases}\)何者正確？
(A)當\(k=4\)且\(r=3\)時，方程組無解
(B)當\(k=4\)且\(r=5\)時，方程組恰有一解
(C)當\(k=4\)且\(r=3\)時，方程式所代表的空間中三平面交於一直線
(D)當\(k=4\)且\(r=5\)時，方程式所代表的空間中三平面中，兩個平行，另一個與這兩個分別交於一直線
41.
已知線性變換\(T\)：\(\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\)定義為\(T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\)，其中\(A\)為一個二階實方陣。下面敘述何者正確？
(A)當\(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)時，\(T\)為以原點為對稱中心的點對稱變換
(B)當\(A=\begin{pmatrix}3/5&4/5\\-4/5&3/5\end{pmatrix}\)時，\(T\)為以原點為中心的旋轉變換
(C)當\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)時，\(T\)為對\(y\)軸做投影的投影變換
(D)當\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)時，\(T\)為以\(y\)軸為對稱軸的線對稱變換
42.已知\((x-5)^4+(x-1)^4=196\)有二個實根，求這二個實根的和為
(A)6 (B)8 (C)10 (D)12
43.
設平面參數曲線\(\displaystyle r(t)=(t^2,\frac{2}{3}t^3)\)。試問此曲線在區間\([0,1]\)上的弧長為何？
(A)\(\sqrt{2}-1\) (B)\(\displaystyle\frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)\) (C)\(\displaystyle\frac{1}{2}(2\sqrt{2}-1)\) (D)\(\displaystyle\frac{2}{3}(\sqrt{2}-1)\)
44.
求\(2^{103}\)除以101的餘數。
(A)2 (B)4 (C)8 (D)16
45.
試問\(\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{x}{1+x^{4}}dx\)之值為何？
(A)\(\displaystyle\frac{\pi}{8}\) (B)\(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) (C)\(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) (D)1
46.
設\(f(x,y,z)=x^2 y+yz\)。試問\(f\)在點\((1,-1,2)\)沿方向\(\displaystyle \left(\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)\)的方向導數為何？
(A)\(-3\) (B)\(-1\) (C)0 (D)1
47.
設函數\(f(x,y)=\begin{cases}\displaystyle\frac{x^2 y}{x^4+y^2},&(x,y)\ne(0,0)\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}\)，下列何者正確？
(A)\(f\)在\((0,0)\)的兩個偏導數都存在，但\(f\)在\((0,0)\)不連續
(B)\(f\)在\((0,0)\)連續，但不可微
(C)\(f\)在\((0,0)\)的所有方向導數都存在，所以\(f\)在\((0,0)\)可微
(D)\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\)不存在
48.
設\(V\)為5維實向量空間。已知線性算子\(T\)：\(V\rightarrow V\)滿足\(T^2=3T\)以及\(tr(T)=6\)。試問\(T\)的零空間之維度\(\dim Ker(T)\)為何？
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
49.
試問\(\displaystyle\int_0^1\frac{3x^{2}+2x}{x^{3}+x^{2}+1}dx\)之值為何？
(A)\(\ln2\) (B)\(\ln3\) (C)\(2\ln2\) (D)1
50.
求重積分\(\displaystyle\int_0^1\int_y^1 e^{x^2}dx dy\)的值。
(A)\(1-e\) (B)\(e-1\) (C)\(\displaystyle\frac{1}{2}(e-1)\) (D)\(\displaystyle\frac{1}{2}e\)
