114師大附中

第E題
由原式化簡，得abcosAcosB=accosAcosC+bccosBcosC
即abcosC=accosB+bccosA=c(acosB+bcosA)=c2
又由餘弦定理，知cosC=2aba2+b2−c2，因此a2+b2=3c2
故cosC=2ab32(a2+b2)2ab32(2ab)32

第L題
有一個想法，因為根號的限制，得0t1，
令t=cos，其中02
對原式雙邊平方，進行化簡得值，再估計t2
但計算有點複雜，再想想有沒有其他方式。

第N題
因為x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−xz−yz)=0，所以x3+y3+z3=3xyz
又xy+xz+yz=21((x+y+z)2−(x2+y2+z2))=−3
令xyz=p，則xyz為t3−3t=p三實數解
由微分知，f(t)=t^3-3t的範圍為[-2,2]
故x^3+y^3+z^3的最大值為6，最小值為-6

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-6 11:54 編輯 ]

第 L 題
√(1 - x) = 2x^2 - 1 + 2x√(1 - x^2)

令 t = cosθ，0＜θ＜π/2
√(1 - cosθ) = 2(cosθ)^2 - 1 + 2cosθ√[1 - (cosθ)^2]
√[2(sin(θ/2))^2] = cos2θ + 2cosθsinθ
√2 * sin(θ/2) = cos2θ + sin2θ
sin(θ/2) = sin(2θ + π/4)
θ/2 = π - (2θ + π/4)
θ = (3/10)π

t^2 = [cos(3π/10)]^2 = [sin(π/5)]^2 = (5 - √5)/8 ≒ 0.35

填充L

感謝三位老師的回覆，受益良多！