二次曲線的題目，求二次曲線到直線的最短距離

已知 \( P(x,y) \) 在曲線 \( \Gamma: y^2 + 2xy +x^2 -2x +6y +1 =0 \) 上，求 \( P \) 至 \( L : x-y+4=0 \) 距離的最小值。

解答：

檢查 \(b^2-4ac = 0\) 且 \( \sqrt{a}:\sqrt{c} = \sqrt{1}:\sqrt{1}\neq \left(-2\right):6\)，得圖形為拋物線。

設平行 \( L \) 且與 \(\Gamma\) 相切的直線方程式為 \(x-y+k=0 ⇒ y=x+k\) 代入 \(\Gamma\)，

整理可得 \( 4x^2 + 4\left(1+k\right)x + \left(k^2 + 6k + 1\right) =0 \)，

因為相切，所以判別式\( = 0\)，可以解得 \( k=0 \)，

故，

\[ d\left( \Gamma , L\right) = d\left(x-y=0, L\right) = \frac{\left| 4 - 0 \right|}{\sqrt{1^2 + \left(-1\right)^2}} = 2\sqrt{2}.\]


出處： 92台中二中