多項式方程式，解 (x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30 * x^3

weiye

瑋岳

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1^# 大中小發表於 2008-7-6 23:12 只看該作者

多項式方程式，解 (x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30 * x^3

在 Student.tw 看到某題目有一個很棒的解法，
經原作者 chpohoa1 同意，轉錄至此。

引用:

題目：求解　(x+1)(x二次方+1)(x三次方+1)=30*x三次方

引用:

作者：chpohoa1

顯然x=0不為其解

兩邊同除以x^3

=> [√x + 1/√x] * [x + 1/x] * [√(x^3) + 1/(√x^3)] = 30

令 √x + 1/√x = t

x + 1/x = t^2 - 2

√(x^3) + 1/(√x^3) = t^3 - 3t

=> t^2 * ( t^2 - 2 ) * (t^2-3) = 30

令 t^2 = u => (u^2 + 6)(u-5) = 0

=>x + 1/x = t^2 - 2 = -2 ± √6i ，3

=> x^2 + ( 2∓√6i) x + 1 = 0 , x^2 - 3x + 1 = 0

原討論串：http://www.student.tw/db/showthread.php?t=155975

多喝水。

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eggsu1026

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2^# 大中小發表於 2011-10-20 11:00 只看該作者

兩邊同除以x^3
結果寫出 "1/√x"
是否要預設 x 為正實數？

此方程式有兩個正實根、四個複數根
複數根也適用此種方法嗎？

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weiye

瑋岳

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3^# 大中小發表於 2011-10-20 13:49 只看該作者

回復 2# eggsu1026 的帖子

寫 √x ..... 好像真的有點不妥。：Ｐ

那還是直接展開 \((x+1)(x^2+1)(x^3+1)-30x^3=0\)

可得 \(x^6+x^5+x^4-28x^3+x^2+x+1\)

顯然 \(x=0\) 並不是方程式的根，

所以左右兩邊同除 \(x^3\)，

再令 \(\displaystyle t=x+\frac{1}{x}\)，

然後把方程式用 \(t\) 來表示～

解 \(t\)，再解 \(x\)！：Ｐ

多喝水。

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