令 x ＝ y ＋ (1/6)，可得 8y^3－(14/3) y＋(7/27)=0
令 y ＝ (－√7)z／3，可得 4z^3－3z＝1/(2√7)
令 z ＝ cos θ，可得 cos 3θ=1/(2√7)
因此 θ= arccos 1/(2√7), arccos 1/(2√7)+2π/3, 或 arccos 1/(2√7)+4π/3
所以 x=1/6＋y＝1/6＋(－√7 z)／3＝1/6＋(－√7 cos θ)／3，
其中 θ= arccos 1/(2√7), arccos 1/(2√7)+2π/3, 或 arccos 1/(2√7)+4π/3
且由題意 x=cos t，
故 t ＝arccos{1/6＋(－√7 cos θ)／3}, 或 2π－arccos{1/6＋(－√7 cos θ)／3}
其中 θ= arccos 1/(2√7), arccos 1/(2√7)+2π/3, 或 arccos 1/(2√7)+4π/3
另外，今天在 PTT 的數學版，看到一個高手的解答，漂亮多了，
引用:
連結：http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1212360597.A.641.html
作者 Sfly (Category) 看板 Math
標題 Re: [高中數學] 三角方程式
時間 Mon Jun 2 06:49:55 2008
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※ 引述《mathsun (數戰數決)》之銘言：
: 若 0 < x < pi/6
: 試解 8sin^3(x) - 4sin^2(x) - 4sinx + 1 = 0
: Ans: x = pi/14
: --------------------------------------------------
: 用牛頓定理(一次因式檢驗法)無法找出 sinx 的有理根,
: 用卡當諾三次方程式無法解出 pi/14 這麼漂亮的答案,
: 請賜教,謝謝.
理論上應該可以用三倍角做出來
但可能需要硬湊
用複數直接一點 let e=cosx+isinx, e'=1/e=cosx-isinx
2i*sinx=e-e'
so, 8sin^3(x) - 4sin^2(x) - 4sinx + 1
= i(e^3-3e+3e'-e'^3) + (e^2-2+e'^2) +2i(e-e')+1
= -(ie)^3 - (ie)^2 - ie - 1 -..-(ie)^(-3)
so 0=(8sin^3(x) - 4sin^2(x) - 4sinx + 1)(1-ie)=(ie)^4 - (ie)^(-3)
ie. (ie)^7=1, e^7=i
so sin(7x)=1=> 7x=Pi/2 => x=Pi/14.
