三角函數題，利用倍角公式的證明題

快將開學= =
要做很多功課
遇上的問題也很多=]
請指導一下o_o
sin5x            cos5x
------     －    -------  =4-8sin^2x
sinx              cosx

證明左=右


另外加上一題對我來說的難題-.-
http://student.bshlmc.edu.hk/it-school/homepage/s04110501/IMG_1468.JPG
謝謝
可能內容比較多 對不起/_\第39題~

證明：


sin 5x ／ sin x － cos 5x ／ cos x

通分
= {sin 5 x cos x－ cos 5x sin x} ／ {sin x cos x}

分子用和角公式，分母用倍角公式
= sin(5x － x) ／ {(2 sin x cos x) ／2}

= 2 sin 4x ／ sin 2x

分子用倍角公式
=　2{ 2 sin 2x cos 2x} ／ sin 2x

= 4 cos 2x

在用餘弦函數的倍角公式
= 4 {1 － 2 sin^2 (x)}

= 4 － 8 sin^2 (x)(Ａ)

因為 ＡＢ 線段是以圓Ｏ為圓心的圓內接正十邊形的一邊，所以 ∠ＡＯＢ ＝ 360°/10 ＝ 36°

因為 ＯＡ ＝ ＯＢ ＝ 半徑，所以 ΔＯＡＢ 為等腰三角形，∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝72°

因為 ＡＤ 平分 ∠ＯＡＢ(＝72°)，所以 ∠ＯＡＤ＝∠ＢＡＤ＝36° → ＡＤ ＝ ＡＢ ＝ ｘ

因為 ∠ＯＡＤ＝∠ＡＯＤ＝36° → ＯＤ ＝ ＡＤ

故， ＯＤ ＝ ＡＤ ＝ ＡＢ ＝ ｘ

(Ｂ)

利用 (Ａ) 所求得的各個角度，可以發現 ΔＡＯＢ～ΔＢＡＤ

所以 ＯＡ : ＡＢ ＝ ＡＢ : ＤＢ → ＯＡ : ＡＢ ＝ ＡＢ : (ＯＢ － ＯＤ)

→ 1 : ｘ ＝ ｘ : (1－ｘ) → ｘ^2 ＝ 1*(1－ｘ) → ｘ^2 ＋ ｘ － 1 ＝0

(Ｃ)

利用公式解或是配方法，可以求得 ｘ^2 ＋ ｘ － 1 ＝ 0 之解，

ｘ ＝ (－1 ± √5) / 2 ，其中因為 ｘ 為邊長，所以負的答案不合，

故 ｘ ＝ (－1 ＋ √5) / 2

(Ｄ)

自 Ｏ 點往 ＡＢ 線段作中垂線，中垂線恰把 36° 的 ∠ＡＯＢ 分成兩個 18°，且分為兩個直角三角形，

所以觀察可以得到 sin 18° ＝ (ｘ/2) / ＯＡ ＝ (ｘ/2) / 1 ＝ ｘ/2 ＝ (－1 ＋ √5) / 4 ＝ (√5 － 1) / 4


(Ｅ)

利用倍角可以求的 cos 36° ＝ 1 － 2 sin^2 (18°) ＝ ....(留給你算囉).....

然後 sin 36° ＝ 根號{ 1 － cos^2 (36°) }