壹、填充題
1.
設一扇形的周長為20，則此扇形面積的最大值為？
2.
解不等式\(x^2-|2x-1|-1\le0\)
3.
\(\displaystyle y=\frac{x^2-5x+6}{x^2+5x+4}\)，求滿足\(0<y<1\)的\(x\)範圍？
4.
試求行列式\(\begin{vmatrix}a^2+1&ab&ac\\ab&b^2+1&bc\\ac&bc&c^2+1\end{vmatrix}\)之值？（化至最簡）
5.
一道光線經過\(A(-2,6)\)，沿著水平方向前進，遇到拋物線\(y^2=4x\)上一點\(P\)，經反射後通過一點\(B\)，而\(\overline{PB}=5\)，則\(B\)點坐標為？
6.
設有方程式\(x^5=1\)，它的五個根為\(1\)、\(\omega_1\)、\(\omega_2\)、\(\omega_3\)、\(\omega_4\)，試求\((3-\omega_1)(3-\omega_2)(3-\omega_3)(3-\omega_4)\)之值？
7.
\(A(4,-4,6)\)、\(B(2,0,2)\)、\(C(4,-1,3)\)，則\(B\)在\(\vec{AC}\)上的正射影點？
8.
在空間中，已知平面\(E\)通過\(A(3,0,0)\)、\(B(0,4,0)\)及正\(z\)軸上一點\(C(0,0,k)\)，如果平面\(E\)與\(xy\)平面的夾角成\(45^\circ\)，則\(k=\)？
9.
設平面\(x+y+z=1\)與球面\(x^2+y^2+z^2=4\)相交部分為圓\(S\)。已知平面\(2x+2y+z=1\)與圓\(S\)交於\(P\)、\(Q\)兩點，則\(\overline{PQ}\)之長為？
10.
設\(a_n\)表\(15^n\)所有正因數的總和，試求\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{15^n}=\)？
11.
食鹽水100克，每次取出20克再加入20克的純水，如此繼續操作，則至少要幾次後，其濃度始小於原濃度的\(\displaystyle\frac{1}{10}\)？
12.
\(3^{200}\)為\(n\)位數字，其個位數字為\(a\)，最高位數為\(b\)，求\((n,a,b)\)？
13.
四邊形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=1\)，\(\overline{BC}=5\)，\(\overline{CD}=5\)，\(\overline{DA}=7\)，且\(\angle DAB=\angle BCD=90^\circ\)，則對角線\(\overline{AC}\)長為？
14.
\(f(x)=x^4-3x^3+5x^2-x-10\)，已知\(f(1-2i)=0\)，則\(f(x)<0\)之解為？
15.
設\(f'(0)=a\)，求\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(3x)-f(\sin x)}{x}=\)？
16.
有一個兩列三行的表格如右圖。在六個空格中分別填入數字1、2、3、4、5、6（不得重複），則1、2這兩個數字在同一行或同一列的方法有幾種？
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17.
求\(\displaystyle\int_0^{\pi}\frac{\sin x+\tan x}{\sec x}dx=\)？
18.
求\(\displaystyle\int_0^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\frac{1-\cos x}{1+\cos x}dx=\)？
19.
曲線\(\displaystyle y=x^2-\frac{27}{x^2}\)的反曲點？
20.
求\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{-\frac{3}{2}}(\sum_{i=1}^{n}\sqrt{i})=\)？
