1.
極限\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}\)之值為何？
(A)\(\displaystyle\frac{1}{6}\) (B)\(\displaystyle\frac{1}{3}\) (C)\(\displaystyle\frac{1}{2}\) (D)1
2.
函數\(e^x\cos x\)在\(x=0\)的泰勒級數展開中，\(x^4\)的係數為何？
(A)\(\displaystyle-\frac{1}{6}\) (B)0 (C)\(\displaystyle\frac{1}{24}\) (D)\(\displaystyle\frac{1}{6}\)
3.
設\(\displaystyle F(x)=\int_{x}^{x^2}e^{t^2}dt.\)則\(F'(1)\)之值為何？
(A)0 (B)\(e\) (C)\(2e\) (D)\(-e\)
4.
級數\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{n^2+1}\)的收斂性為下列何者？
(A)絕對收斂
(B)條件收斂
(C)發散，因為一般項非單調遞減
(D)發散，因為一般項不趨近於0
5.
設\(D=\{(x,y):0\le y\le x\le1\}\)。試求\(\displaystyle\int\int_{D}(x+y)dA\)之值為何？
(A)\(\displaystyle\frac{1}{3}\) (B)\(\displaystyle\frac{1}{2}\) (C)\(\displaystyle\frac{2}{3}\) (D)1
6.
參數曲線\(\begin{cases}x=t^2+1\\y=t^3-t\end{cases}\)，\(t\in\mathbb{R}\)，在\(t=1\)處的切線方程式為何？
(A)\(y=x-2\) (B)\(y=2x-4\) (C)\(y=-x+2\) (D)\(y=x+2\)
7.
求冪級數\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n2^n}\)的收斂區間。
(A)\((-1,3)\) (B)\([-1,3)\) (C)\((-1,3]\) (D)\([-1,3]\)
8.
設\(R\)為第一象限中由曲線\(xy=1,xy=4\)與直線\(y=x,y=2x\)所圍成的區域。試求\(\displaystyle\int\int_{R}\frac{x^2+y^2}{xy}dA\)之值為何？
(A)\(\displaystyle\frac{3}{2}\) (B)2 (C)\(\displaystyle\frac{9}{4}\) (D)3
9.
在\(\mathbb{R}^3\)中，能使向量\(v_1=(1,1,0),v_2=(1,a,1),v_3=(0,1,1)\)線性相依的\(a\)值為何？
(A)0 (B)2 (C)\(-1\) (D)1
10.
試求向量\(b=(1,2,2)\)在子空間\(W=span\{(1,1,0),(1,0,1)\}\)上的正交投影為何？
(A)\((1,1,1)\) (B)\((2,1,1)\) (C)\(\left(\displaystyle\frac{3}{2},\frac{3}{2},0\right)\) (D)\((1,2,0)\)
11.
設\(P_2\)為次數不超過2的實係數多項式空間。有一線性映射\(T:P_2\to P_2\)定義為\(T(p)=p'+p(0)\)。若以\(B=\{1,x,x^2\}\)為基底，將\(T\)表示為矩陣\(M\)，滿足\([T(p)]_B=M[p]_B\)，則矩陣\(M\)為何？
(A)\(\begin{bmatrix}1&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{bmatrix}\) (B)\(\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&2\\0&0&0\end{bmatrix}\) (C)\(\begin{bmatrix}1&0&0\\1&0&0\\0&2&0\end{bmatrix}\) (D)\(\begin{bmatrix}0&0&0\\1&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}\)
12.
對\(u_1=(1,1,0)\)、\(u_2=(1,0,1)\)依此順序作Gram-Schmidt正交化時，第二個非零正交向量可取為下列何者？
(A)\((1,1,0)\) (B)\((1,0,1)\) (C)\((0,1,-1)\) (D)\((1,-1,2)\)
13.
設\(A\)為\(2\times2\)可逆矩陣，且\(tr(A)=5\)、\(\det(A)=6\)。求\(tr(A^{-1})\)。
(A)\(\displaystyle\frac{6}{5}\) (B)\(\displaystyle\frac{5}{6}\) (C)1 (D)\(\displaystyle\frac{11}{6}\)
14.
求數列\(a_n=n(\sqrt{n^2+1}-n)\)的極限。
(A)0 (B)\(\displaystyle\frac{1}{2}\) (C)1 (D)發散
15.
下列集合何者在\(\mathbb{R}\)中為緊緻集(compact set)？
(A)\((0,1)\) (B)\([0,\infty)\) (C)\(\left\{\displaystyle\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N},n\ge1\right\}\) (D)\(\{0\}\cup\left\{\displaystyle\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N},n\ge1\right\}\)
16.
令\(f(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb{Q}\\0,&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}\)，\(x\in[0,1]\)，下列敘述何者正確？
(A)\(f\)黎曼可積(Riemann integrable)，且積分值為0
(B)\(f\)黎曼可積，且積分值為1
(C)\(f\)不是黎曼可積，其下積分(lower integral)為0、上積分(upper integral)為1
(D)\(f\)在所有無理點(irrational points)連續
17.
令\(S=\{q\in\mathbb{Q}:q^2<2\}\)為\(\mathbb{R}\)的子集，試求\(S\)的最小上界\(\sup S\)之值為何？
(A)\(S\)無最小上界 (B)1 (C)\(\sqrt{2}\) (D)2
18.
初值問題\(\begin{cases}y'+2y=e^{-x}\\y(0)=0\end{cases}\)之解為何？
(A)\(y(x)=e^{-x}\) (B)\(y(x)=e^{-2x}\) (C)\(y(x)=e^{-x}-e^{-2x}\) (D)\(y(x)=e^{-2x}-e^{-x}\)
19.
初值問題\(\begin{cases}y'=y(1-y)\\y(0)=\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases}\)之解為何？
(A)\(\displaystyle\frac{1}{1+e^x}\) (B)\(\displaystyle\frac{1}{1+e^{-x}}\) (C)\(e^{-x}\) (D)\(\displaystyle\frac{1}{2}\)
在加法群\(\mathbb{Z}_{12}\)中，元素\([8]\)的階（order）為何？
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
21.
試問\(3^{100}\)除以7的餘數為何？
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
22.
下列多項式何者在\(\mathbb{Q}[x]\)中可約（reducible）？
(A)\(x^2-2\) (B)\(x^2+1\) (C)\(x^2+x+1\) (D)\(x^2-1\)
23.
設兩直線\(L_1\)：\((x,y,z)=s(1,0,1)\)，\(L_2\)：\((x,y,z)=(0,1,0)+t(0,1,1)\)，其中\(s,t\in\mathbb{R}\)。求\(L_1\)與\(L_2\)的距離。
(A)0 (B)\(\displaystyle\frac{1}{3}\) (C)\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\) (D)\(\sqrt{3}\)
24.
由向量\(a=(1,2,0),b=(2,1,2)\)張成的平行四邊形面積為何？
(A)\(\sqrt{14}\) (B)\(\sqrt{21}\) (C)\(\sqrt{29}\) (D)29
25.
數列滿足\(a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}(n\ge2),a_0=0,a_1=1\). 試求一般項\(a_n\)為何？
(A)\(n\) (B)\(2n-1\) (C)\(2^{n-1}\) (D)\(2^n-1\)
26.
小明錢包裡有10個1元，6個5元，9個10元。小明隨機從中拿出8枚硬幣，有幾種不同的組合？
(A)42 (B)45 (C)48 (D)56
27.
小明錢包裡有10個1元，6個5元，9個10元。小明隨機從中拿出2枚硬幣，總和的期望值為何？
(A)\(9.6\) (B)10 (C)\(10.4\) (D)\(10.8\)
28.
怡君站在家豪西南方距離\(10\sqrt{2}\)公尺處，而淑芳站在家豪東方10公尺處。令\(\alpha\)表示從怡君看出去家豪和淑芳之間的夾角。則\(\sin\alpha=\)
(A)\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\) (B)\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\) (C)\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}}\) (D)\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{10}}\)
29.
已知\(\alpha,\beta\)為矩陣\(\begin{bmatrix}2&-3\\-2&1\end{bmatrix}\)的兩個特徵值，則\(\alpha^2+\beta^2=\)
(A)5 (B)13 (C)8 (D)17
30.
怡君站在家豪西南方距離\(10\sqrt{2}\)公尺處，而淑芳站在家豪東方10公尺處。怡君和淑芳之間的距離為多少公尺？
(A)\(15\sqrt{3}\) (B)\(10\sqrt{5}\) (C)\(10+10\sqrt{2}\) (D)24
31.
數列\(a_n\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+n\)，則\(a_{10}=\)
(A)1525 (B)1530 (C)1535 (D)1540
32.
函數\(f(x)=4x^3-30x^2+72x+7\)在哪個區間遞減？
(A)\(0<x<1\) (B)\(1<x<2\) (C)\(2<x<3\) (D)\(3<x<4\)
33.
方程式\(3x+5y=150\)有幾組正整數解？
(A)8 (B)9 (C)10 (D)11
34.
求\(\displaystyle\int_1^2x\ln x dx=\)
(A)\(3\ln2\) (B)\(2\ln2-\displaystyle\frac{3}{4}\) (C)\(\displaystyle\frac{7}{4}\) (D)\(e-1\)
35.
已知\(V\)是個三維的向量空間，非零線性映射\(T:V\to V\)滿足\(T^2=T\)。以下何者是錯的？
(A)1是特徵值
(B)\(rank(T)<trace(T)\)
(C)\(trace(T)+null(T)=3\)
(D)\(null(T)>0\)
36.
金大公司在金門機場賣貢糖，一包200元時一週可以賣5000包。公司發現定價每增加10元，每週會少賣200包。請問定價多少時，營業額會最高？
(A)200 (B)220 (C)225 (D)235
37.
\(|x-1|+|x-2|+|x-3|=2.5\)的所有解總和為
(A)4 (B)6 (C)\(7.5\) (D)8
38.
求\(7^{9999}\)的最後3位數。
(A)253 (B)143 (C)693 (D)303
39.
令\(S_n\)表示邊長為1的正\(n\)邊形的面積，以下何者是錯的？
(A)\(S_3<S_4<S_6<S_8\)
(B)\(S_4S_6<S_3S_8\)
(C)\(S_4+S_6<S_3+S_8\)
(D)\(S_3+S_4+S_6<S_8\)
40.
在正方形\(ABCD\)中，\(A=(1,1),C=(3,7),B=(x,y)\)在第一象限。則\(x-2y=\)
(A)\(-2\) (B)\(-1\) (C)0 (D)1
41.
空間中的直線\(L\)：\(\displaystyle6-x=\frac{y+18}{5}=z\)和錐面\(S\)：\(x^2+y^2=2z^2\)交於兩點\(A\)、\(B\)。\(A\)、\(B\)之間的距離為
(A)8 (B)\(5\sqrt{2}\) (C)\(6\sqrt{3}\) (D)12
42.
\(F_n\)表示費波那契數列的第\(n\)項，以下那一項是7的倍數？
(A)\(F_{1001}\) (B)\(F_{1250}\) (C)\(F_{2468}\) (D)\(F_{2880}\)
43.
對函數\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^3+x}\)及其圖形，以下何者是錯的？
(A)有一條水平漸近線
(B)有一條垂直漸近線
(C)對\(y\)軸對稱
(D)對原點對稱
44.
雙曲線\(x^2-3xy+2y^2=3\)在點\((1,2)\)的切線斜率為
(A)\(\displaystyle\frac{4}{5}\) (B)\(\displaystyle\frac{3}{4}\) (C)\(-\displaystyle\frac{3}{2}\) (D)\(-\displaystyle\frac{5}{7}\)
45.
小明在金門包了一艘船準備去小金門、大膽、二膽、獅嶼四個島。船長下午要趕回來接小孩，所以一定要分成兩天。請問有幾種不同的安排方式？
(A)48 (B)56 (C)72 (D)96
46.
\(A=\begin{bmatrix}1+\sqrt{3}\,i&1-\sqrt{3}\,i\\1-\sqrt{3}\,i&-1-\sqrt{3}\,i\end{bmatrix}\)，則\(\det A^5=\)
(A)72 (B)32 (C)1024 (D)1440
47.
\(x^2-10x+30=6\sqrt{x^2-10x+25}\)的所有解的總和為
(A)0 (B)6 (C)10 (D)20
48.
整數1到1000中和99互質的數有幾個？
(A)560 (B)631 (C)607 (D)701
49.
求無窮級數\(\displaystyle\frac{1}{115}+2\left(\frac{1}{115}\right)^2+3\left(\frac{1}{115}\right)^3+\cdots\)的和
(A)\(\displaystyle\frac{115}{114^2}\) (B)\(\displaystyle\frac{115}{114}\) (C)\(\displaystyle\frac{116}{115^2}\) (D)\(\displaystyle\frac{115^2}{114^2}\)
50.
如果正三角形\(ABC\)其中一邊的斜率為\(\displaystyle\frac{1}{2}\)，則它的三邊的斜率的乘積為
(A)\(-5\) (B)\(-\displaystyle\frac{1}{2}\) (C)\(-\displaystyle\frac{5\sqrt{3}}{2}\) (D)\(-2\sqrt{3}\)
