一、填充題
1.
試求\(\displaystyle\prod_{k=4}^{255}\frac{\log_{k}(5^{k^2-1})}{\log_{k+1}(5^{k^2-4})}=\)
。（用最簡分數表示）
乘積\(\displaystyle\prod_{k=4}^{63}\frac{\log_k(5^{k^2-1})}{\log_{k+1}(5^{k^2-4})}=\frac{\log_4(5^{15})}{\log_5(5^{12})}\cdot\frac{\log_5(5^{24})}{\log_6(5^{21})}\cdot\frac{\log_6(5^{35})}{\log_7(5^{32})}\cdots\frac{\log_{63}(5^{3968})}{\log_{64}(5^{3965})}=\)
。
(2025AIME，
https://math.pro/db/thread-4118-1-1.html
連結有解答
https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_4)
2.
已知\(P\)點為橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{10}=1\)上位在第一象限的動點，\(O\)為坐標原點，\(A\)為\(\Gamma\)在正\(x\)軸上的頂點，\(F\)為\(\Gamma\)在正\(y\)軸上的焦點。求當\(P\)點坐標為
時，四邊形\(OAPF\)面積為最大。
3.
在\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=3\)，\(\overline{AC}=5\)，\(\angle BAC=120^{\circ}\)，\(\overline{AD}\)為\(\overline{BC}\)邊上的高，\(\overline{AE}\)為\(\angle A\)的外角平分線交\(\overline{BC}\)邊的延長線於\(E\)，如下圖所示。求\(\overline{DE}\)之值為
。
4.
設\(f(x)=(-3x^4+5x^3+x^2+5x-2)^4\)，求\(\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\left[\int_{1}^{2+h}f(t)dt-\int_{1}^{2}f(t)dt\right]=\)
。
5.
\(f(x)\)為實係數四次多項式，已知\((1,115)\)為\(y=f(x)\)圖形的反曲點，且在此點的切線為水平線。又\(g(x)=(x-2)^3+20(x-2)+121\)圖形的反曲點在\(y=f(x)\)上，且\(y=g(x)\)與\(y=f(x)\)圖形在此點有相同的切線。試求\(f(-2)=\)
。
6.
試求\(\begin{bmatrix}\displaystyle1+\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{-1}{2}\\\frac{1}{2}&1+\frac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}^6+\begin{bmatrix}\displaystyle1-\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{-1}{2}&1-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}^6=\)
7.
設\(a,b,c,d\)為實係數四次方程式\(x^4+3x^3+x-2=0\)的四個複數根，則\((a^4+3a^3+a^2+a+2)(b^4+3b^3+b^2+b+2)(c^4+3c^3+c^2+c+2)(d^4+3d^3+d^2+d+2)=\)
。
8.
已知複數\(z\)滿足\(\displaystyle Arg(z+3)=\frac{3\pi}{4}\)，則當\(z=\)
時，\(|z+6|+|z-3i|\)有最小值。
二、綜合題
1.
底下是一道數學試題與學生作答內容，在解題的過程中，哪裡出現錯誤，請問你會如何協助，指出他的錯誤迷失，修正其概念，並引導解題？
題目：已知\(\displaystyle\sin\theta-\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}\)，且\(\sin\theta,\cos\theta\)為方程式\(2x^2+px+q=0\)的兩根，求\(p^2-8q\)的值。
解：\(\displaystyle\sin\theta-\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow\sin\theta=\cos\theta+\frac{1}{\sqrt{3}}\)，又\(\displaystyle\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\Rightarrow\left(\cos\theta+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\cos^2\theta=1\Rightarrow2\cos^2\theta+\frac{2}{\sqrt{3}}\cos\theta-\frac{2}{3}=0\)
比較\(2x^2+px+q=0\)的係數，得知\(\displaystyle\begin{cases}\displaystyle p=\frac{2}{\sqrt{3}}\\q=-\frac{2}{3}\end{cases}\Rightarrow p^2-8q=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2-8\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{20}{3}\)。
2.
如右圖，在矩形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=2\)，\(\overline{BC}=\sqrt{2}\)，\(\overline{AC}\)與\(\overline{BD}\)相交於\(O\)。今將\(\Delta AOB\)剪去，剩餘部分沿\(\overline{OC}\)、\(\overline{OD}\)折疊，使\(\overline{OA}\)、\(\overline{OB}\)重合，便會形成以\(A(B)、C、D、O\)為頂點的四面體，試證明平面\(OCD\)與平面\(ACD\)垂直。
3.
已知\(m\)、\(n\)皆為正實數且滿足\(\displaystyle \frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}=1\)，試求\(\displaystyle \frac{mn}{3m+4n}\)的最小值及此時\(m\)、\(n\)之值。
