一、填充題
1.
設\(a,b\)為實數，\(i=\sqrt{-1}\)，則滿足\((a+bi)^{2025}=a-bi\)的數對\((a,b)\)有
組。
Find the number of ordered pairs of real numbers \((a,b)\) such that \((a+bi)^{2002} = a-bi\).
(A)1001 (B)1002 (C)2001 (D)2002 (E)2004
(2002AMC12A，連結有解答
https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_24)
2.
袋中有4顆黑球、3顆白球、2顆紅球，每球被取到的機率均等。現從袋中取出球，一次取一球且取後不放回，則紅球先被取完的機率為
。
(類似問題，連結有解答
https://math.pro/db/thread-536-1-1.html)
3.
在\(\Delta ABC\)中，\(\overline{BC}=7\)，\(\displaystyle\sin(\angle B+\angle C)=\frac{\sqrt{15}}{4}\)，若\(\overline{CD}\)、\(\overline{BE}\)分別是\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)上的高，則\(\overline{DE}\)之長為
。
4.
複數數列\(\{z_n\}\)之生成方式如下：投擲一枚公正硬幣，若出現正面，則\(z_n=2z_{n-1}\)；若出現反面，則\(z_n=iz_{n-1}\)，其中\(i=\sqrt{-1}\)。若給定\(z_0=1\)，則\(z_5=2\)的機率為
。
5.
已知函數\(f(x)\)滿足\(\displaystyle f\left(\frac{x-3}{x+1}\right)+f\left(\frac{3+x}{1-x}\right)=x\)，其中\(x^2\ne1\)，則\(f(2)\)之值為
。
求所有函數\(f(x)\)，對任意實數\(x\)，\(|\;x|\;\ne 1\)，滿足\(\displaystyle \left(\frac{x-3}{x+1}\right)+\left(\frac{3+x}{1-x}\right)=x\)，則\(f(x)=\)
。
(100南港高工，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1143&page=4#pid7764)
6.
平面上，\(O\)為原點，橢圓\(\displaystyle\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1\)上有一動點\(P\)。過\(P\)對圓\(x^2+y^2=1\)作切線，設切點為\(Q_1\)、\(Q_2\)，則四邊形\(OQ_1PQ_2\)的面積最大值為
。
7.
空間坐標系中有一個球面\(S\)，其球心為\(O(0,0,0)\)、半徑為1。球面上有相異三點\(A,B,C\)形成正三角形，已知\(A(1,0,0)\)、\(\displaystyle B(a,\sqrt{1-a^{2}},0)\)，則\(a\)的取值範圍為
。
8.
求方程式\(x^{2026}-x^{2024}-x^{2022}-\dots-x^2-2=0\)的所有實根之平方和為
。
9.
有一光源從拋物線\(y=x^2\)上、位於第一象限的點\(P\)處，發射一束雷射光射向焦點\(F\)，光束經對稱軸反射後，碰到拋物線上的另一點\(Q\)。若\(\overline{PF}=a\)、\(\overline{QF}=b\)，則\(a+4b\)的最小值為
。
10.
平面上有一個\(\Delta OAB\)，其中\(M,N\)是\(\overline{AB}\)上的三等分角點，即\(\displaystyle\theta=\angle AOM=\angle MON=\angle NOB=\frac{1}{3}\angle AOB\)。若內積之連比满足\((\vec{OA}\cdot\vec{OB}): (\vec{OM}\cdot\vec{OB}): (\vec{ON}\cdot\vec{OB})=1:2:3\)，則\(\cos\theta\)之值為
。
二、計算題
1.
設\(n\)為正整數且\(n\ge2\)，\(a\)為實數，函數\(f(x)=n\cdot\ln x\)與\(g(x)=ax^n\)的圖形相切於點\(P\)，請回答下列問題：
(1)求實數\(a\)之值。
(2)令\(S_n\)表示由\(f(x)\)、\(g(x)\)的圖形與\(x\)軸所圍成的封閉區域面積，請以\(n\)的形式表示\(S_n\)。
(3)求\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}S_n\)之值。
2.
設\(n\)為正整數，現以\(d(n)\)表示\(n\)的正因數個數，並令\(\displaystyle f(n)=\frac{d(n)}{\sqrt{n}}\)。舉例來說，\(15\)的正因數有\(1,3,5,15\)，故\(d(15)=4\)，\(\displaystyle f(15)=\frac{4}{\sqrt{15}}\)。請回答下列問題：
(1)若質數\(p\)與正整數\(k\)滿足\(f(p^{k})\le f(p^{k+1})\)，求滿足條件的數對\((p,k)\)。
(2)求\(f(n)\)的最大值，以及此時的\(n\)值。
