一.填充題
1.
\(aaabbccd\)八個字母全取排成一列，則\(b\)的旁邊不能排\(c\)的排法有
種。
2.
空間座標系中，在平面\(E\)：\(x+y+z=6\)上鋪設三個頂點為\(A(1,1,4)\)、\(B(2,1,3)\)、\(C(3,2,1)\)的三角形磁磚(磁磚厚度不計)，今一雷射光線自點\(P(2a,3a+1,a-1)\)射出，沿著向量\((2,1,3)\)的方向直線前進，若欲使雷射投射的光點落在磁磚鋪設區域(含邊界)，則所有可能的動點\(P\)所成圖形的長度或區域面積為
。(若圖形為線段則求其長度，若為封閉區域則求其面積)
3.
已知實數\(x_1,x_2,y_1,y_2\)滿足\(x_1^2+y_1^2=1\)，\(x_2^2+y_2^2=1\)，\(\displaystyle x_1x_2+y_1y_2=\frac{1}{2}\)，則\(|\;x_1+y_1-1|\;+|\;x_2+y_2-1|\;\)的最大值為
。
4.
若\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\le x\le \frac{3\pi}{2}\)，則函數\(f(x)=\sqrt{3}\sin2x-\cos2x+6\sin x-6\sqrt{3}\cos x\)的最大值為
。
5.
\(\triangle ABC\)中，已知\(A(6,0)\)，若\(\angle B\)、\(\angle C\)的內角平分線方程式分別為\(2x-3y+1=0\)、\(x-2=0\)，則直線\(BC\)的方程式為
。
\(\Delta ABC\)中，\(A(2,-4)\)，若\(\angle B\)、\(\angle C\)之角平分線分別為\(L_1\)：\(x+y-2=0\)及\(L_2\)：\(x-3y-6=0\)，則\(\overline{BC}\)之方程式為
。
(101文華高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=3#pid5286)
6.
將直線\(L\)對直線\(y=2x\)鏡射，然後再繞原點旋轉\(45^\circ\)，得到直線\(5\sqrt{2}x-5\sqrt{2}y+1=0\)，則原直線\(L\)的方程式為
。
7.
在\(\triangle ABC\)三邊上的點\(D,E,F\)滿足\(\overline{AB}=3\overline{AF}\)，\(\displaystyle \overline{BC}=\frac{5}{3}\overline{DC}\)，\(\overline{CA}=2\overline{CE}\)，其示意圖如右。若\(P\)是四邊形\(AFDE\)內一點(不含邊界)使得\(\displaystyle\vec{DP}=\frac{-1}{3}\vec{DC}+k\vec{DE}\)，試求\(k\)值的範圍為
。
8.
設\(f(x)=x^9+x^8+x^7+\dots+x-10\)，則\(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\int_1^xf(t)dt}{x-1}=\)
。
9.
設\((x_1,y_1)=(0,-1)\)、\((x_2,y_2)=(1,0)\)、\((x_3,y_3)=(0,1)\)。若二實數\(a\)與\(b\)使\(D=(y_1-a-bx_1)^2+(y_2-a-bx_2)^2+(y_3-a-bx_3)^2\)之值為最小，此最小\(D\)值為
？
(類似問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957)
10.
設\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)為平面上三個非零向量，已知\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)不平行，且\(\vec{c}=2\vec{a}+k\vec{b},k>0\)。若\(\vec{c}\)與\(\vec{b}\)所張成的平行四邊形面積為14，\(\vec{a}\)與\(\vec{c}\)所張成的平行四邊形面積為21，求\(k=\)
。
11.
圓內接四邊形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=5\)、\(\overline{BC}=2\)、\(\overline{CD}+\overline{DA}=9\)，令\(\overline{CD}=x\)，若x的可能值的最大範圍為區間\((a,b)\)，求該區間的長度\(b-a\)為何？
12.
求\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n}}\)之值。
(我的教甄準備之路 裂項相消，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)
13.
已知實數\(x,y,z\)滿足\(x+y+z=0\)且\(x^3+y^3+z^3=18\)，求\(xyz=\)
。
求解\(\cases{x+y+z=1\cr x^2+y^2+z^2=131\cr x^3+y^3+z^3=385}\)
(95第1學期中山大學雙週一題，連結有解答
https://www-math.nsysu.edu.tw/~problem/2006f/)
14.
已知非零複數\(z\)滿足方程\(z^3=4i\bar{z}\)，在複數平面上，將所有可能的\(z\)作為頂點所形成的凸多邊形面積為
平方單位。
15.
甲參加某個限定商品的抽獎，已知抽獎方式如下：第一次抽要付100元，每次抽中獎品的機率為\(\displaystyle\frac{1}{3}\)，若抽中則可拿到限定商品，若沒抽中可以選擇就此放棄抽獎機會，或是比上次多付100元的金額再抽一次。例如：第一次花費100元沒抽中，可再花費200元抽第二次，若第二次沒抽中則可再花費300元抽第三次，以此類推。假設甲身上有無限的資金且絕不放棄，會持續抽獎直到抽中限定商品為止，則甲所花費金額的期望值為
元。
二、計算證明題
1.
甲、乙兩人輪流投擲一枚均勻的硬幣，每局誰先擲出正面誰獲勝，並重新開始下一局。他們連玩了數局，並規定前一局的輸家下一局先擲，若甲第1局先擲，試回答下列問題：
(1)第1局是甲獲勝的機率為何？
(2)設\(P_n\)為第\(n\)局是甲獲勝的機率，試求\(P_{n+1}\)與\(P_n\)的關係式。
(3)第\(n\)局是甲獲勝的機率為何？
2.
設\(\alpha,\beta,\gamma\)為互異的複數，在複數平面上，\(A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)\)，且\(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha=0\)，試證：\(\triangle ABC\)為正三角形。
