填充題
1.
\(a\)、\(b\)、\(c\)為實數，\(0\le x<2\pi\)。已知\(f(x)=a\sin x+b\cos x+c\)的最大值為3，最小值為\(-1\)，且最大值發生在\(\displaystyle x=\frac{11\pi}{6}\)，則\((a+bi)^7=\)
。
2.
投擲一個均勻的骰子，若擲出1點或6點則不能再投擲骰子，若擲出其他點數則可繼續投擲骰子，在最多投擲\(n\)次的限制下，擲出1點的機率為\(P_n\)，求\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}P_n\)之值=
。
3.
將\(1,2,3,\dots,78\)，依照下述規律分成\(n\)組：
第1組：1
第2組：2,3
第3組：4,5,6
第4組：7,8,9,10
\(\dots\)
第\(n\)組：\(\dots,77,78\)
若從這\(n\)組中以均等的機率選一組後，再從中以均等的機率選出一個數字，則選出的數字小於20的機率為
。(化為最簡分數)
4.
求二拋物線\(y^2=4x\)與\(x^2=2y-3\)的公切線方程式
。
5.
數列\(\langle a_n\rangle\)的一般項為\(\displaystyle a_n=\frac{q_n}{p_n}\)，其中\(p_n,q_n\)均為自然數，若\(a_n\le 2,p_n\le 3\)。請由小到大寫出\(a_n\)的所有可能值
。
6.
\(f(x)=\sin x(1+\cos x)\)，\(0<x<2\pi\)的極大值為\(M\)，極小值為\(m\)，求數對\((M,m)=\)
。
7.
求\(3\tan10^\circ+4\sqrt{3}\sin10^\circ=\)
。
8.
\(A=\begin{bmatrix}3&-1\\a&-2\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}-2&b\\-6&3\end{bmatrix}\)，若\(AB=BA\)，就\(n\)為正奇數及正偶數兩種情況，分別求\((A-B)^n\)之值=
。(Hint:可先觀察\(A^2\)、\(B^2\))
9.
空間中：\(L_1\)：\(\displaystyle\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-4}{1}\)，\(L_2\)：\(\displaystyle\frac{x-a}{6}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-7}{-2}\)交於一點，求\(L_1,L_2\)之交角平分線
。
10.
若\(x\)為實數，解方程式\(\displaystyle x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\)，則\(x=\)
。
(99鳳新高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1492&page=2#pid7156)
11.
如圖，\(\angle BAC=\angle PCR=\angle PBQ=90^\circ\)，\(\overline{AB}=3\)，\(\overline{AC}=4\)，\(\triangle PCR\)、\(\triangle PBQ\)皆為等腰三角形。若\(\overline{PB}:\overline{PC}=5:3\)且\(\displaystyle\tan\angle RPQ=\frac{2}{\sqrt{5}}\)，則\(\overline{PC}=\)
。
12.
如圖，過圓外\(O\)一點\(A\)作兩切線且切點為\(B,C\)，另從\(\overline{AB}\)上找一點\(D\)作圓切線且切點為\(F\)並交\(\overline{AC}\)於\(E\)，若圓半徑為5，\(\overline{DF}=4\)，\(\overline{EF}=3\)，求\(\triangle ADE\)面積為
。
13.
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x}\)，則\(f(f(\dots f(2026)))=\)
(共2026個\(f\))。
14.
設\(\displaystyle\frac{1}{2}<a<1\)，求\(\log_8(\sqrt{a+\sqrt{2a-1}}+\sqrt{a-\sqrt{2a-1}})=\)
。
15.
\((\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{3})^5+8(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{3})^3-6(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{3})^2-9(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{3})^1+8=\)
。
16.
平面過\(A(1,0,0)\)與\(B(0,2,0)\)，且與\(xy\)平面夾成\(60^\circ\)角，求平面方程式為
。
17.
已知\(a,b\)皆為正實數，且滿足\(a^b=b^a\)與\(a=106b\)，則\(\log_{106}(ab)=\)
。(化為最簡分數)
18.
如圖所示，等腰直角\(\triangle ABC\)中，\(\angle A=90^\circ\)，\(D\)為\(\overline{BC}\)的中點，四邊形\(DEFG\)為正方形，且點\(F\)在\(\overline{AC}\)邊上。若\(\overline{BE}=\sqrt{3}\overline{CG}\)，\(\overline{BC}=4\)，則正方形\(DEFG\)的面積為
。
19.
設\(R\)代表坐標平面上由不等式\(1-\sqrt{4-y^2}\le x\le 0\)所定義的區域。若函數\(f(x,y)=3x-y\)在區域\(R\)上最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，則數對\((M,m)=\)
。(化為最簡根式)
20.
已知\(O\)為\(\triangle ABC\)之外心，若\(5\vec{AO}\cdot\vec{BC}+3\vec{BO}\cdot\vec{CA}+8\vec{CO}\cdot\vec{AB}=0\)，求\(\cos A\)的最小值為
。
