一、填充題
1.
若矩陣\(A\)滿足\(A\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\2\\5\end{bmatrix}\)，\(A\begin{bmatrix}4\\6\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\7\\5\end{bmatrix}\)，\(A\begin{bmatrix}5\\1\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\7\\8\end{bmatrix}\)，則\(A\begin{bmatrix}3&10\\4&2\\-1&8\end{bmatrix}=\)
。
2.
在\(\triangle ABC\)中，若\(\overline{AB}=3\)，\(\overline{AC}=5\)且\(\angle BAC=120^\circ\)。已知\(P\)為\(\overline{BC}\)上一點，且\(\overline{BP}:\overline{PC}=1:100\)，則\(\tan\angle BAP=\)
。
3.
連續投擲一枚不公正硬幣，直到出現正面才停止，令隨機變數\(X\)的取值為直到出現正面時投擲的總次數，已知\(\displaystyle P(X\ge5)=\frac{16}{81}\)，則\(X\)的期望值與\(X\)的變異數的和為
。
4.
設\(x,y\)為實數，滿足\(|x+y|+|x-y|=2\)。則\(x^2+y^2-4x+y\)的最大值為
。
5.
甲、乙、丙、丁4人，入座編號1號至12號的12個位子，且任意兩人均不相鄰，且第6個位子一定要有人坐，則有
種入座方法。
6.
已知數列\(\langle a_n\rangle\)滿足\(\begin{cases}a_1=1\\a_n=a_1+2a_2+3a_3+\dots+(n-1)a_{n-1},n\ge2\end{cases}\)，則\(a_{100}=\)
。(答案不需要乘開)
7.
熱門手遊舉辦一場5位玩家：甲、乙、丙、丁、戊的單淘汰表演賽，賽程如下，圖中(1)-(5)位置由電腦隨機分配。已知甲玩家擁有神裝，在與任何玩家對陣時，勝率皆穩定為\(\displaystyle \frac{2}{3}\)，其餘四位玩家，戰力相當，彼此對陣時，勝率皆為\(\displaystyle \frac{1}{2}\)。若系統隨機產生對戰表後，則這冠軍賽是由甲、乙兩位玩家對戰的機率為
。
8.
設\(x\)為實數，若\(\alpha\)、\(\beta\)為方程式\(a^{-2|\;x|\;}+5x^2=1\)異於0的兩根，\(a>0\)且\(\displaystyle \alpha-\beta=\frac{2}{3}\)，則\(a=\)
。
9.
坐標平面上，已知向量\(\vec{v}\)在向量\((2,-3)\)方向的正射影長為\(a\)，而向量\(\vec{v}\)在向量\((3,2)\)方向的正射影長為\(b\)。若\(\vec{v}\)與向量\((2,-3)\)、向量\((3,2)\)的夾角均為銳角，則向量\(\vec{v}\)在向量\((4,7)\)方向的正射影長為
。(答案請以\(a,b\)表示)
10.
平面上，二定點\(A、B\)，若\(\overline{AB}=8\)，則滿足\(\angle APB\ge120^\circ\)之動點\(P\)所圍成之區域面積為
。
11.
設\(z\)為複數，在複數平面上，一個正六邊形依逆時針方向的連續三個頂點為\(z、0、z-6+4\sqrt{3}i\)，其中\(i=\sqrt{-1}\)，則\(z\)的虛部為
。
12.
已知多項式\(\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x^4+4x^2\)，則方程式\(f(f(x))=0\)有
個相異實根。
13.
已知\(\displaystyle f(x)=\sqrt{4x^2+(x^2-1)^2}+\sqrt{\left(2x-\frac{3}{2}\right)^2+(x^2-5)^2}\)，其中\(x\)為實數。若當\(x=m\)時，\(f(x)\)有最小值\(k\)，則\(m+k=\)
。
14.
若空間中有\(\vec{a}、\vec{b}、\vec{c}、\vec{d}\)四個相異向量，滿足\(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{c}\)，\(\vec{a}\times\vec{c}=\vec{d}\)，且\(|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=2\)，若已知\(\vec{a}\cdot\vec{b}>0\)，則\(|\vec{b}\times\vec{d}|=\)
。
15.
若三正數\(a,b,c\)滿足\(abc(a+b+c)=25\)，則\((a+b)(b+c)\)的最小值為
。
若三正數x,y,z滿足\( xyz(x+y+z)=25 \)，則\( (x+y)(y+z) \)的最小值為？
(97高中數學能力競賽第四區筆試二，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=919&page=1#pid1945)
16.
坐標空間中，四個平面\(E_1\)：\(x+y+z=1\)、\(E_2\)：\(x-y-z=3\)、\(E_3\)：\(x-y+z=-5\)與\(E_4\)：\(ax+by+cz=d\)恰圍出一個邊長為\(6\sqrt{2}\)的正四面體。今將\(E_4\)的所有係數寫成最簡的整數比，且\(ad>0\)，則\(ad=\)
。
二、計算題
1.
已知\(\langle a_n\rangle\)為無窮數列，試判斷下列各命題的真偽，需說明詳細理由。
(1)若\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0\)。
(2)若\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0\)，則\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂。
2.
分別以108課綱\(\bbox[border:1px solid black]{高一}\)、\(\bbox[border:1px solid black]{高二}\)、\(\bbox[border:1px solid black]{高三}\)數學的內容解下列題目：
已知\(x^2+y^2=4\)，其中\(x,y\)為實數，則：
當\((x,y)=\)
時，\(3x+y\)有最大值為
。
當\((x,y)=\)
時，\(3x+y\)有最小值為
。
(寫出一種方法得4分、寫出二種方法得7分，寫出三種方法得10分)
