114香山高中第二次

114香山高中第二次

2.
令\(n\)為正整數，在坐標平面上，如果直線\(\displaystyle y=-\frac{n}{n+1}x+\frac{1}{n+1}\)，分別交\(x\)與\(y\)軸於\(A_n,B_n\)二點，且\(O\)為原點。若直角三角形\(A_nOB_n\)的面積為\(S_n\)，則\(S_1+S_2+S_3+\ldots+S_{2023}+S_{2024}+S_{2025}\)之值為下列何者？
(A)\(\displaystyle \frac{1012}{2025}\)　(B)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(C)\(\displaystyle \frac{2023}{4048}\)　(D)1　(E)\(\displaystyle \frac{2025}{4052}\)
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

7.
已知數列\(a_n=6^n+8^n\)，其中\(n=1,2,3,\ldots\)，則\(a_{83}\)除以49之餘數為下列何者？
(A)27　(B)35　(C)37　(D)42　(E)45

試求49除\(6^{98}+8^{98}\)的餘數。
(94高中數學能力競賽 高雄屏東區，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)

9.
已知二角\(\angle A=25^{\circ},\angle B=20^{\circ}\)，則\((1+tanA)(1+tanB)\)之值為下列何者？
(A)\(\sqrt{3}\)　(B)2　(C)\(1+\sqrt{2}\)　(D)\(2\sqrt{2}\)　(E)3
(我的教甄準備之路　頭尾相加乘為定值，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid25489)

13.
如果\(x>0\)，則方程式\(\displaystyle \root 4\of x=\frac{12}{7-\root 4\of x}\)所有正實數解\(x\)之和為下列何者？
(A)25　(B)91　(C)256　(D)337　(E)1267
(1986AIME，連結有解答https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_1)

17.
已知三角形ABC之三邊長為連續正整數，如果最大角的度數是最小角度數的2倍，則下列哪些選項是正確?
(A)最小的邊長為3　(B)最小的邊長為4　(C)周長為12　(D)周長為15　(E)周長為18
(我的教甄準備之路　邊長為正整數的三角形，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1078)

想請教一下
單選3  答案：D (不確定答案有沒有錯)
單選8  答案：A
謝謝老師！

第 3 題
答案有誤，應選 (E) 33

第 8 題
設 m > n
S_n = S_m
a_1 * a_2 * … * a_n = a_1 * a_2 * … * a_n * a_(n + 1) * a_(n + 2) * … * a_m
a _(n + 1) * a_(n + 2) * … * a_m = 1

a_1 * a_2 * … * a_n * [a_(n + 1) * a_(n + 2) * … * a_m] * a_(m + 1) * a_(m + 2) * … * a_(m + n)
中括號裡的數，乘積是 1，中括號前與後各是 n 個數
故 a_1 * a_(m + n) = a_2 * a_(m + n - 1) = … = a_n * a_(m + 1) = 1

S_(m + n) = log1 = 0

謝謝thepiano老師！

想再請教一下1、5、15，謝謝各位老師！

第 1 題
兩根立方和為 0，即兩根和為 0

第 5 題
在 BC 上取 CE = AD，則 BE = BD
BA/BC = AD/CD = CE/CD
又 ㄥABC = ㄥECD
△BAC 和 △CED 相似

ㄥDBE = x，ㄥDEB = (180 - x)/2 = ㄥECD + ㄥEDC = 2x + 2x
x = 20
ㄥA = 100 度

第 15 題
利用 L'Hopital's Rule，可得 √[1 + (2 + h)^2]，取極限後 = √5

我了解了，再次感謝thepiano老師！