114屏東女中

請教填充9、計算1

謝謝

計算第 1 題：
\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)為空間向量，其中\(\vec{a}\ne \vec{0}\)。
證明：若\(\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}\)且\(\vec{a}\times \vec{b}=\vec{a}\times \vec{c}\)，則\(\vec{b}=\vec{c}\)。
[解答]
若 \(\vec{b}\) 不等於 \(\vec{c}\)，則 \(\left(\vec{b}-\vec{c}\right)\) 不是零向量。

（１）　\(\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}\Rightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{a}\cdot\vec{c}=0\Rightarrow \vec{a}\cdot\left(\vec{b}-\vec{c}\right)=0\)。

　　　因為 \(\vec{a}\) 與 \(\left(\vec{b}-\vec{c}\right)\) 皆非零向量，得兩非零向量  \(\vec{a}\) 與 \(\left(\vec{b}-\vec{c}\right)\) 互相垂直 。

（２）　\(\displaystyle \vec{a}\times\vec{b}=\vec{a}\times\vec{c}\Rightarrow \vec{a}\times\vec{b}-\vec{a}\times\vec{c}=\vec{0}\Rightarrow \vec{a}\times\left(\vec{b}-\vec{c}\right)=\vec{0}\)。

　　　因為 \(\vec{a}\) 與 \(\left(\vec{b}-\vec{c}\right)\) 皆非零向量，得兩非零向量  \(\vec{a}\) 與 \(\left(\vec{b}-\vec{c}\right)\) 互相平行 。

因為（１）與（２）互相矛盾，得 \(\vec{b}\) 等於 \(\vec{c}\)。

填充9.
\(f(x)\)為一實係數三次多項式函數，已知其反曲點為\((-1,84)\)，且\(\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(-1-h)-f(-1)}{2h}=43\)，又已知存在\(t>0\)，使得對所有\(a,b\in \mathbb{R}\)，若\(b>a>-1\)，則有\(\displaystyle \int_0^t f(x)dx\le \int_a^b f(x)dx\)。試求\(t\)值。
[解答]
當 \( a=0, b= t \) 時， \( \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{0}^{t}f(x)dx \)

也是就是說 \( \min_{-1<a<b}\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{0}^{t}f(x)dx \)

因此 \( f(x) \) 在區間 \( [0,t] \) 均滿足 \( f(x) \le 0 \) 及在區間 \( [-1,0] \)、 \( [t,\infty] \) 均滿足 \( f(x) \geq 0 \)

(多項式函數) 故 \( f(0) = f(t) = 0 \)

又有題意知 \( (-1,84) \) 為反曲點(也是對稱中心)、\( f'(-1) = -86 \)，與 \( f(0) =0 \)

可解得 \( f(x) = 2x(x+8)(x-5) \)，故所求 \( t = 5 \)