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填充第 1 題：
令 \(P = a^3 -4 a^2 -6a + 4\) 且 \(Q = a^2 -3a +1\)，
利用長除法，得
\(a^3 -4 a^2 -6a + 4 = \left(a^2 -3a +1\right)\left(a-1\right) + \left(-10a + 5\right)\)，
即 \(P = Q\left(a-1\right) + \left(-10a +5\right)\)
\(\Rightarrow \left(Q - 10\right)a + \left(-P-Q+5\right) = 0\)
因為 \(P\) 與 \(Q\) 皆為有理數（得 \(Q-10\) 與 \(-P-Q+5\) 亦為有理數）且 \(a\) 為無理數，
得 \(Q-10=0\) 且 \(-P-Q+5=0\)
\(\Rightarrow Q=10\) 且 \(P = -5\)
\(\Rightarrow Q = a^2 -3a +1 = 10\)
\(\displaystyle \Rightarrow a = \frac{3 \pm 3 \sqrt{5}}{2} \)
又因為題目有說 \(a\) 為正數，
故 \(\displaystyle a = \frac{3 + 3 \sqrt{5}}{2} \)。
