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114師大附中

cut6997

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11^# 大中小發表於 2025-3-29 20:24 只看該作者

回覆 9# joiuk123 10# acolytej 的帖子

兩位老師分享的看起來都是靠畢氏定理繞過了向量內積，感謝分享。

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peter0210

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12^# 大中小發表於 2025-3-29 21:50 只看該作者

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Yoga-Lin

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13^# 大中小發表於 2025-3-29 22:06 只看該作者

回覆 7# tsusy 的帖子

老師的算式應該把141改成114，估計的值應該就對了

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peter0210

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14^# 大中小發表於 2025-3-29 22:12 只看該作者

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thepiano

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15^# 大中小發表於 2025-3-29 23:00 只看該作者

回覆 5# satsuki931000 的帖子

第 M 題
所有連乘之分數均為分子比分母小 1 的正真分數
n 個這樣的分數相乘之最小值 = (1/2)(2/3)(3/4)……[n/(n + 1)] = 1/(n + 1)
1/(n + 1) <= 114/2025
n >= 17

由於 114/2025 = 38/675 = (2 * 19)/(3^3 * 5^2)
考慮 (1/2)(2/3)(3/4)……(17/18)(18/19)(19/20) 這 19 個分數連乘
由於分子需有 19，先拿掉 18/19，此時分母多了 18 = 2 * 3^2 和 20 = 2^2 * 5，要再多 3 * 5，才是 3^3 * 5^2
再拿掉 15/16，此時分母多了 15 = 3 * 5，分子多了 16 = 2^4 跟分母多的 2 * 2^2 約分後剛好是 2

故 n 的最小值是 17

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-3-29 23:10 編輯 ]

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thepiano

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16^# 大中小發表於 2025-3-30 10:49 只看該作者

回覆 8# cut6997 的帖子

非選 Q
以下 u、v、w 都是向量
u - v = (2，-1，0)、v - w = (-1，2，3)、u - w = (1，1，3)
|u - v| = √5，|v - w| = √14，|u - w| = √11
令 |u| = a，|v| = b，|w| = c
利用 a^2 + b^2 = 5，b^2 + c^2 = 14，c^2 + a^2 = 11
可求出 a^2 = 1，b^2 = 4，c^2 = 10
所求 = abc = √(a^2b^2c^2) = 2√10

以下是比較麻煩的做法
令 u = (x，y，z)、v = (x - 2，y + 1，z)、w = (x - 1，y - 1，z - 3)

利用內積 = 0
可求出 (x，y，z) = ((4 + √10)/9，(-1 + 2√10)/9，(2 - √10)/9)
或 (x，y，z) = ((4 - √10)/9，(-1 - 2√10)/9，(2 + √10)/9)

所求為 u、v、w 三向量所張出的六面體體積 = u、v - w、u - w 三向量所張出的六面體體積 = 2√10

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tsusy

寸絲

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17^# 大中小發表於 2025-3-31 22:00 只看該作者

回覆 13# Yoga-Lin 的帖子

謝謝，是我手誤，不小心打錯，的確是114才對

網頁方程式編輯 imatheq

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yugigi01

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18^# 大中小發表於 2025-4-1 13:30 只看該作者

回覆 14# peter0210 的帖子

不好意思，我想請問peter老師紅色那行是怎麼變出來的呢？

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superlori

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19^# 大中小發表於 2025-4-1 13:41 只看該作者

回覆 18# yugigi01 的帖子

考慮f(x)=(1+x)^n的展開式，將x=1,w,w^2代入化簡

天才有限，努力無限；讀書百遍，聰明自現。

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