懇請大家賜教~
115.3.24上傳整份試題
12.
在座標平面上，\(O(0,0)\)為原點，\(A(0,-1)\)為單位圓上一點，試選出正確的選項。
(1)一質點由點\(A\)且沿著與\(y\)軸正向夾角為\(15^\circ\)的方向直線前進，經點\(B\)反射（即\(\angle OBA=\angle OBP_1\)）至圓上的點\(P_1\)，再反射至圓上的點\(P_2\)，如圖所示。如此連續進行\(n\)次反射後會到圓上的點\(P_n\)，則點\(P_{114}\)的座標為\(\displaystyle \left( \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\)。
(2)設\(n\)為正整數，若點\(A\)經矩陣\(J =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}\)連續作線性變換\(n\)次的對應點為\(Q_n(x_n, y_n)\)，即\(J^n \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_n \\ y_n \end{bmatrix}\)，則滿足\(\overline{Q_n Q_{n+1}}>2025\)的最小正整數\(n\)為 8。
(3)設矩陣\(M_k=\begin{bmatrix}\displaystyle \cos \frac{k\pi}{180} & -\sin \frac{k\pi}{180} \\ \sin \frac{k\pi}{180} & \cos \frac{k\pi}{180} \end{bmatrix}\)，\(N_k= \begin{bmatrix}\displaystyle \cos \frac{k\pi}{180} & \sin \frac{k\pi}{180} \\ \sin \frac{k\pi}{180} & -\cos \frac{k\pi}{180} \end{bmatrix}\)，\(T=\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)，若單位圓上的動點\(C(a,b)\)在第一象限且\(\frac{1}{2}<a<1\)，點\(C\)經矩陣\(M_1 N_2 M_2 N_4 M_3 T\)作線性變換的對應點為點 \(D\)，則點\(D\)的座標可能為\(\displaystyle\left( -\frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right)\)。
(4)設\(J=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}\)、\(T=\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)、\(S=\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\)，若單位圓經矩陣\(SJT\)變換後的圖形為\(\Gamma\)，則\(O\)點與\(\Gamma\)上的點之最長距離與最短距離的和為35。
(5)設\(J=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}\)、\(T=\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)、\(U=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\)，若單位圓經矩陣\(UJT\)變換後的圖形為\(\Omega\)，則\(O\)點與\(\Omega\)上的點之最長距離與最短距離的和為25。
