113清大與交大應數系個申二階題目
小弟我是今年的學測考生，想報考清大與交大的應用數學系，剛考完兩間學校的筆試，以下是我印象較深且想請教的題目。
清大：
1.試證明在一個邊長皆為整數的直角三角形中，三邊長至少有一個邊長為五的倍數。
2.f(x)=log_（-x^3+4x-4x) (x^2-3x+4)，試求f(x)>0的所有可能區間。
3.已知f(x)為一整係數多項式，且最高次係數為1，同時有a,b,c三個整數使得f(a)=f(b)=f(c)=100，問：
（1）說明是否存在一個實數k使f(k)=101
(2) 說明是否存在一個整數t使得f(t)=101
4.在xy平面上有一個圖形方程式為x^2-2xy+5y^2=41，問：
（1）試求實數k使L:5x-13y=k與此圖形相切。
（2）試求此圖形與M:5x-13y=138之距離最大值。
交大：
1.a,b為任意實數，f(a×b)=a×f(b)+b×f(a)，且已知f(2)=2 ，問：
（1）求f(0),f(1)分別為多少。
（2）若a_n=(f(2^n))/n，試證明a_n為一等比數列，並求其公比。
（3）若b_n=(f(2^n))/(2^n)，試證明b_n為一等差數列，並求其公差。
（4）試說明f(x)是奇函數還是偶函數，抑或是都不是。
2.將1~50的50個正整數分成甲乙兩組，並由小排到大，一組25個數字，令a為甲組的中位數，b為乙組的中位數，K為a和b的差，M(K)為有幾個a使得b-a=k，問：
（1）在b-a=1的條件下，滿足甲組的最大值比乙組的最小值大47，同時乙組的最大值比甲組的最小值大47的分組情況有幾種？
（2）問M(K=2)為多少。
（3）求最大的正整數K使M(K)不等於0。
以上題目皆來自小弟本人的印象，若有錯誤請見諒。
