109中一中資優班

第一題有解題方向，但想請問老師有沒有快速的判別方式呢
先感謝老師們給予解惑

109中一中資優班數學實作
第一部分：填充題
8.
若\(a,b,c\)為正整數，已知\(1\le a\le b\le c\le 60\)且\(c=ab\)，則滿足條件的序對\((a,b,c)\)有　　　組。

第二部分：計算與證明題
3.
若\([x]\)表示不大於\(x\)的最大整數，而\(\{\;x \}\;=x-[x]\)，解方程式\(\displaystyle [x]\cdot \{\;x \}\;=\frac{1}{8}x^2\)。

111.12.9版主補充
上傳整份題目，更改文章標題
https://acad.tcfsh.tc.edu.tw/zh_ ... Gifted/MG_past_exam

第 2 題
x = a + b，其中 a 為整數，0 ≦ b < 1
[x] = a，{x} = b
ab = (a + b)2 / 8
b = 3a ± (2√2)a
0 ≦ 3a ± (2√2)a < 1
......

第 1 題
應該從 a 下手比較快
8 * 8 > 60，故 a 最大是 7
a = 7，b = 7 ~ 8
a = 6，b = 6 ~ 10
a = 5，b = 5 ~ 12
a = 4，b = 4 ~ 15
a = 3，b = 3 ~ 20
a = 2，b = 2 ~ 30
a = 1，b = 1 ~ 60