110台灣師大個人申請筆試一

老師們好~
最近在幫要考數學系的學生準備，所以一起寫各數學系筆試考古題。但奈何我數學能力有限，也有一些單元是弱項，還是會有部分題目未能解出，故與同事討論不出時，想向眾老師求教。
目前師大數學系的筆試已寫完3份了，覺得跟學科能力競賽的出題方式很像，筆試一為相對較難的計算證明題(當然還是比學科能力競賽還簡單)，筆試二為高中數學課內難題。
其中筆試一的第五題(2)已經知道該方向要走鴿籠原理，也有想過應該是反證法，我有想試著先證5X5，但也不知該如何下手，故而請教大家!
無論如何，感激不盡!

5.
將1到50的正整數填入\(50 \times 50\)的格子內，使每個數恰出現五十次。
(1)設有\(r\)列出現1，亦有\(c\)行出現1，試證\(r+c\ge 15\)。
(2)試證一定存在某一列或某一行，出現至少8個不同的數。

以下網址可以下載詳細筆試檔案
https://www.lib.ntnu.edu.tw/sec_ ... 3-EB67-3FA891E41FED

唉唉唉真的嗎？
我有證出第一小題
也有想過應該可以用第一小題來說明
但想很久也不知道怎麼做呢？
冒昧詢問可以再多給一些提示或指引嗎？

由第 (1) 小題，任一數字出現的列數與行數之和 ≧ 15
全部 50 個數字出現的列數與行數之和 ≧ 15 * 50 = 750

假設任一列最多只出現 7 個不同的數字
那全部 50 列最多出現 7 * 50 = 350 個

故全部 50 行最少會出現 750 - 350 = 400 個
由鴿籠原理，某一行最少會出現 400 / 50 = 8 個不同的數字

非常感謝兩位老師的解說！真的很感謝！
當下看到真的是「哇～
確實使用了第一小題被很清楚簡明的完成證明了！」

我想我這方面的能力可能太粗淺 導致反應不靈敏 方向模糊
我想應該借本相關的書籍來做訓練

再次感謝兩位老師！

二、
設數列\(\langle a_n \rangle\)的首項\(a_1=2\)，且對所有正整數\(n\)，滿足\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}\)，試證：\(\displaystyle \sqrt{2}<a_{2021}<\sqrt{2}+\frac{1}{2021}\)。
三、
平面上一扇形\(OAB\)滿足\(\overline{OA}=\overline{OB}\)=5，且圓心角\(\angle AOB=\theta\)。
(1)若\(\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}\)，試證對於任意正整數\(n\)，\(\displaystyle cos^n \theta<\frac{sin^n \theta}{\theta^n}<1\)。
(2)若\(\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<0\)，試證上述不等式仍然成立。

這兩題不知道該怎麼下手，第二題只知道可以用算幾證大於根號2，另外一邊就不知道怎麼算了...
在麻煩各位幫忙解惑了!

第二題
先證明遞減 \(a_{n}-a_{n-1}=\frac{a_{n-1}-a_{n-2}}{2}+\frac{a_{n-2}-a_{n-1}}{a_{n-1}a_{n-2}}=(a_{n-1}-a_{n-2})(\frac{1}{2}-\frac{1}{a_{n-1}a_{n-2}})=(a_{n-2}-a_{n-3})(\frac{1}{2}-\frac{1}{a_{n-1}a_{n-2}})(\frac{1}{2}-\frac{1}{a_{n-2}a_{n-3}})\)
\(=(a_{2}-a_{1})(\frac{1}{2}-\frac{1}{a_{n-1}a_{n-2}})(\frac{1}{2}-\frac{1}{a_{n-2}a_{n-3}})\times\cdots \times(\frac{1}{2}-\frac{1}{a_{2}a_{1}})\leq 0\)
(因為\(a_{n+1}a_{n}\geq 2  \forall n\in N \))
\(a_{n}\)就直接帶進去個3項左右可拿到 \(a_{3}=\frac{577}{408}\doteq 1.41422\)
\(a_{3}\leq \sqrt{2}+\frac{1}{2021}\doteq 1.41470\)
最後因為遞減 所以\(a_{3}>a_{2021}\)

第三題的想法可以參考
https://frankliou.wordpress.com/ ... %E6%A5%B5%E9%99%90/