問2題期望值：107成大數學系筆試1題 2015清大數學系筆試1題

想向眾老師請教兩題期望值問題
分別為2015清大數學系個人申請第二階段筆試(二)第6題、107成大數學學士班筆試第7題

清大第6題，我比較沒有方向，想要看規律找方向，但發現越到後面會根據前一次不同狀況需要做很多分支，就做不下去了，不知道究竟該如何解？
成大第7題，他有給提示，但我完全不清楚如何使用提示去做，也是硬做機率分布表嘗試做，但複雜度很高......不知能否請教如何使用提示方法解題？

感恩大家!

以下網址為檔案
http://m104.nthu.edu.tw/~s104021215/docs/nthu-math-104.pdf
h ttps://www.math.ncku.edu.tw/teaching/old-test/u-apply/107.pdf(連結已失效)

清大第6題，
一袋中有十顆黑球，開始時隨機由袋中取兩顆球，再放入兩顆白球，如此稱為一次操作。令\(E_n\)表操作\(n\)次後，袋中的白球個數的期望值，試求：\(E_n\)與\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}E_n\)
[解答]
除了遞迴找規律的方法，期望值在這類競試問題，也常使用線性性質。
把這十顆黑球標示為 1~10
n 次操作後，如果 \( i \) 號黑球仍在袋中，則取  \( X_{n,i} \) 的值為 1；如不在袋中，則取  \( X_{n,i} \) 的值為 0
則 \(\displaystyle E_n = 10 - \sum_{i=1}^{10} X_{n,i} \)
而特定黑球留在袋中的機率是容易計算的

成大7.
某扭蛋機裡面包含3種不同款式之扭蛋無限個。假設每投幣10元會掉下一顆扭蛋而獲得任一款式的機率均為\(\displaystyle \frac{1}{3}\)。假設每次投幣所獲得的扭蛋款式不受其他次投幣結果影響。試求
(a)集滿3種不同款式扭蛋所需投幣次數小於等於5的機率。
(b)要集滿3種不同款式之扭蛋所需花費之期望值(提示：定義\(a_k\)為已收集到\(k\)種不同款式的扭蛋情況下要達成目標所需的剩餘投幣次數期望值，\(k=0,1,2,3\)。很明顯地，\(a_3=0\)。找出\(a_0,a_1,a_2,a_3\)彼此間的關聯)。
[解答]
a_0 = 1 + a_1

a_1 = (2/3)(1 + a_2) + (1/3)(1 + a_1)

a_2 = (1/3)(1 + a_3) + (2/3)(1 + a_2)

a_0 = 11/2

想了一陣子之後，覺得有開竅了
以下為我吸收後所寫的
希望有確實學起來了

感謝寸絲老師跟鋼琴老師快速又清楚的解題，
這幾天做了幾份數學系筆試，大多題目經過時間跟研究能算出來，
但因為我的期望值部分不太擅長，這兩題想了很久並與人討論後覺得真心無法有正確方向，故而請教，真心感謝!