2022亞太數學奧林匹亞競賽初選試題

請教非選第二題!謝謝~

113.3.25
上傳考試二試題

非選第2題
已知非負實數\(a,b,c,d\)滿足\(a+2b+3c+4d=1\)且\((a+b)(c+d)^2=(a+c)(b+d)^2=k.\)則\(k\)的最大值為何？又該最大值在何時發生？
[解答]
\(\begin{align}
  & \left( 1 \right)b=c \\
& \frac{1}{3}=\frac{a+2b+3c+4d}{3}=\frac{\left( a+b \right)+2\left( c+d \right)+2\left( c+d \right)}{3}=\frac{\left( a+c \right)+2\left( b+d \right)+2\left( b+d \right)}{3}\ge \sqrt[3]{4k} \\
& k\le \frac{1}{108} \\
\end{align}\)
等號成立於\(b=c=\frac{1}{3}-a=\frac{1}{6}-d\)
\(\begin{align}
  & \left( 2 \right)b>c \\
& \frac{1}{3}=\frac{a+2b+3c+4d}{3}>\frac{\left( a+b \right)+2\left( c+d \right)+2\left( c+d \right)}{3}\ge \sqrt[3]{4k} \\
& k<\frac{1}{108} \\
&  \\
& \left( 3 \right)b<c \\
& \frac{1}{3}=\frac{a+2b+3c+4d}{3}>\frac{\left( a+c \right)+2\left( b+d \right)+2\left( b+d \right)}{3}\ge \sqrt[3]{4k} \\
& k<\frac{1}{108} \\
\end{align}\)

想請教填充3&5 和非選一
填充3 算到總和為2^2022-2 但是除以1000的餘數算不出來

選填第3題
考慮像下圖一樣的數值三角形，在兩條邊上依序填入\(0,1,2,\ldots\)，而三角形內部的數字則跟巴斯卡三角形一樣，是上列相鄰的兩數字的和。
\(\matrix{&&&&&0&&&&&\cr
&&&&1&&1&&&&\cr
&&&2&&2&&2&&&\cr
&&3&&4&&4&&3&&\cr
&4&&7&&8&&7&&4&\cr
\ldots&&\ldots&&\ldots&&\ldots&&\ldots&&\ldots}\)
所以第一列所有數字的總和是0，第二列所有數字的總和是2，第三列所有數字的總和是6。而第2022列的總和除以1000的餘數是　　　。
[解答]
\(\begin{align}
  & {{2}^{10}}\equiv 24\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
& {{2}^{20}}\equiv {{24}^{2}}\equiv 576\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
&  \\
& {{576}^{2}}\equiv 776\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
& {{576}^{3}}\equiv 976\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
& {{576}^{4}}\equiv 176\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
& {{576}^{5}}\equiv 376\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
& {{576}^{6}}\equiv 576\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
&  \\
& {{2}^{2022}}={{\left( {{2}^{20}} \right)}^{101}}\times 4\equiv {{576}^{101}}\times 4\equiv 576\times 4\equiv 304\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
& {{2}^{2022}}-2\equiv 302\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
\end{align}\)

非選第 1 題
設\(ABCD\)為凸四邊形，其中直線\(AB\)與\(CD\)不平行，同時令點\(P\)為兩對角線\(AC,BD\)的交點。在\(PD\)線段中取一點\(M\)、在\(PC\)線段中取一點\(N\)使得\(PM=PN\)。若\(\angle CAB=\angle CDB\)，試證：直線\(MN\)與直線\(AB\)的夾角，等於直線\(MN\)與直線\(CD\)的夾角。
[解答]
∠AEN = ∠PNM - ∠CAB = ∠PMN - ∠CDB = ∠DEN

感謝鋼琴老師解惑

請問有老師可提供第五題的作法嗎？

5.
某國有110座城市，其中任4座城市之中都至少有1座城市，會與這4座城市中的其他3座城市有鐵路相通。則該國至少有　　　座城市，其與該國中的所有其他城市之間有鐵路相通。
[解答]
在\(a_1,a_2,\cdots,a_{110}\)中任取四個，例如取\(a_1,a_2,a_3,a_4\)，已知必有一個與其他三個皆相通，可知不可能同時找到四個兩兩不相通
觀察\(a_1,a_2,a_3\)，若此三個兩兩不相通，用剩餘的\(a_4,a_5,\cdots,a_{110}\)對這三個觀察可知其餘必皆與此三個相通
觀察\(a_1,a_2,a_4,a_5\)，已知\(a_1,a_2\)不相通，故\(a_4,a_5\)必相通才能滿足必有一個與其他三個皆相通
同理即可知\(a_4,a_5,\cdots,a_{110}\)全部互通

由上述可知只要有三個兩兩不相通就有107個全通，如果只有兩個不通易知會有108個，四個兩兩不相通皆不可能發生

謝謝老師解惑