109西松高中(新增官方版試題)

複試最低錄取66

109.7.8版主補充
刪除附件檔案，請到第一篇下載官方版題目

複試最低錄取66分

請教鋼琴老師。為什麼可以直接用比較係數法呢？謝謝老師。

填充第7題
已知實數\(\alpha,\beta\)分別滿足\(\alpha^3+3\alpha^2+6\alpha-8=0\)及\(\beta^3-6\beta^2+15\beta-2=0\)，則\(\alpha+\beta\)之值為　　　。

寫清楚一些好了
\({{\alpha }^{3}}+3{{\alpha }^{2}}+6\alpha -8=0\)，\(\alpha \)是\({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x-8=0\)的唯一實根
\({{\beta }^{3}}-6{{\beta }^{2}}+15\beta -2=0\)，\(\beta \)是\({{y}^{3}}-6{{y}^{2}}+15y-2=0\)的唯一實根
令\(\alpha +\beta =a\)
\(\beta =a-\alpha \)代入\({{\beta }^{3}}-6{{\beta }^{2}}+15\beta -2=0\)
整理可得\({{\alpha }^{3}}-\left( 3a-6 \right)\alpha +\left( 3{{a}^{2}}-12a+15 \right)\alpha -\left( {{a}^{3}}-6{{a}^{2}}+15a-2 \right)=0\)
由於\(a\)為定值，故與\({{\alpha }^{3}}+3{{\alpha }^{2}}+6\alpha -8=0\)比較係數後可得\(a=1\)

請問第9題
空間中兩單位向量\(\vec{a},\vec{b}\)，其夾角\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)。若存在一個向量\(\vec{p}\)與三個向量\(\vec{a},\vec{b},\vec{a}\times \vec{b}\)的夾角皆為\(\theta\)度，則\(cos 2 \theta=\)　　　

p向量到和其他三個向量夾角皆相同
這個條件要怎麼用

填充第 9 題
請參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=29326#p29326