證明C(n取0)+C(n取2)+C(n取4)+......=2的(n-1)次方

請問如何證明

\( f(x)=(1+x)^n=C_0^n+C_1^nx+C_2^nx^2+\cdots+C_n^nx^n \)
\(\displaystyle\frac{f(1)+f(-1)}{2}=C_0^n+C_2^n+\cdots=2^{n-1}\) (尾項自己看奇偶數)

慢了幾分鐘回，那補個題目好了
\(97\) 高中數學能力競賽 嘉義區
計算\( C_1^{2007}-C_3^{2007}+C_5^{2007}-C_7^{2007}+\cdots+C_{2005}^{2007}-C_{2007}^{2007} \)之值。
答案：\(\displaystyle\frac{1}{2}\)

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2020-1-14 21:38 編輯 ]

用Excel試算前幾個比較小的數值，總和所構成的數列是
1, 2, -4, -8, 16, 32, -64, -128, 256, 512, -1024, -2048, 4096..........
所以可歸納答案應為-2^1003。
但是這對我太難了，我不會證明。