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證明重心在某一邊的中垂線上的三角形必為等腰三角形

克勞棣

1# 大 中 小 發表於 2020-1-11 07:57  只看該作者

證明重心在某一邊的中垂線上的三角形必為等腰三角形

有三角形ABC，其重心在BC邊的中垂線上，如何證明ABC是等腰三角形？謝謝！
註：如同「證明三角形有兩內角的角平分線等長，則它是等腰三角形」(但我現在沒有要證明這個)一樣，在下自己想出來的這一題對我而言也是「看似簡單，實際頗難」，所以懇求各位先進幫忙。

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Lopez

2# 大 中 小 發表於 2020-1-11 14:57  只看該作者

回復 1# 克勞棣 的帖子

令BC之中點為M
建立直角座標系之原點為M, x 軸在BC, y 軸在BC之中垂線
故可設相關座標為 B( -k , 0 ) , C( k , 0 ) , A( a , s ) , G( 0 , t )
G點 x 座標 = 0 = ( -k + k + a ) / 3 , 因此 a = 0
AB = √[ (a+k)² + s² ] = √( k² + s² ) = √[ (a-k)² + s² ] = AC
得證

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克勞棣

3# 大 中 小 發表於 2020-1-11 21:32  只看該作者

回復 2# Lopez 的帖子

某些人(包括我自己一開始的時候)會循環論證設A( 0 , s )，但L大沒有，真是高手。謝謝！

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jackyxul4

信哥
4# 大 中 小 發表於 2020-1-15 16:48  只看該作者

回復 1# 克勞棣 的帖子

老實說我不懂這個題目想要證什麼?
重心G在BC邊的中垂線上---->G本身就是三中線交點了，那代表過A中線就是BC中垂線
A在BC中垂線上，因此線段AB=AC，得證
千金難買早知道，萬般無奈想不到

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克勞棣

5# 大 中 小 發表於 2020-1-15 18:19  只看該作者

回復 4# jackyxul4 的帖子

好像不太對吧！？
對於一個未知形狀的三角形而言，我們只能確定「過A中線」必然通過BC邊的中點(因為這是中線的定義)，而不能確定它與「BC中垂線」重合，除非有更多條件。
或者換個角度問，您怎麼肯定「過A中線」會垂直BC邊？
也或者您是對的，是在下鑽牛角尖想得太複雜，但總之不能「預設」A在BC邊的中垂線上就是了，否則就是循環論證，這一點您同意嗎？

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jackyxul4

信哥
6# 大 中 小 發表於 2020-1-15 21:43  只看該作者

回復 5# 克勞棣 的帖子

因為你一開始就說重心G在BC邊的中垂線上，這就是一個足夠的條件了

說更明白一點，設BC中點叫D好了，重心必然使AGD共線，直線AGD為中線

那G又在中垂線上，代表的是中垂線上有兩點G、D，這就說明了直線GD是中垂線也是中線

這樣的論述應該只有用到"重心為三中線交點"還有"兩點決定唯一一直線"的公設
千金難買早知道，萬般無奈想不到

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