機率(取球問題)--第k次的狀況不知如何解

若袋中有相同大小的四紅球和三白球，每次取一球，若取出為紅球，則取後放回時要多放一紅球，同理，若取出為白球，則取後放回時要多放一白球，試問: (1)第三次取出為紅球的機率為?(2)第k次取出為紅球的機率是?

(1)4/7*5/8*6/9+3/7*4/8*5/9+4/7*3/8*5/9+3/7*4/8*4/9=4/7
(2)猜測是4/7,卻無法用式子證明，求高手解答

試試數學歸納法

有嘗試找過遞廻關係，但失敗了
也想用數歸，但因為無法寫出和前項關係，所以求救。

第\(n\)次取出紅球的機率為\({{a}_{n}}\)
\({{a}_{1}}=\frac{4}{7}\)成立
設\({{a}_{k}}=\frac{4}{7}\)成立，可設第\(k\)次取球前，袋中有\(4x\)個紅球，\(3x\)個白球
則
\(\begin{align}
  & {{a}_{k+1}}={{a}_{k}}\times \frac{4x+1}{7x+1}+\left( 1-{{a}_{k}} \right)\times \frac{4x}{7x+1} \\
& =\frac{4}{7}\times \frac{4x+1}{7x+1}+\frac{3}{7}\times \frac{4x}{7x+1} \\
& =\frac{4}{7} \\
\end{align}\)