數學歸納法

竹園岡便利商店現推出飲料最低1元的活動，只要購買飲料，就可以抽獎。抽獎箱中有相同大小的紅珠子及白珠子若干個，若抽中紅珠子，則只要付1元就可帶走所購買飲料；若抽中白珠子，則需照原價付費。
(1)今便利商店中有三個外觀一模一樣的抽獎箱，每個箱中都有20個珠子，但紅珠子分別是1個、2個、3個。參加活動的顧客先任選一個箱子(每個箱子被選中的機率都相同)，再從箱子抽一個珠子(抽完後將珠子放回原箱子)。今甲、乙兩人參加此項活動，兩人抽獎的結果互不影響，若均抽中紅珠子，則甲、乙兩人的紅珠子是抽自同一個箱子的機率為何？　　　。
(2)某天營業結束後，店長決定更改活動規則，只留下一個抽獎箱，裡面先放1個紅珠子和2個白珠子。參加活動的每一個顧客，無論他抽到什麼顏色的珠子，就再多放3個同色的珠子到抽獎箱中。
比如說若第一個顧客抽到白珠子，則第二個顧客要抽獎時，箱中共有1個紅珠子和5個白珠子。店長要店員先試算隔天每位參加活動的顧客的中獎機率：若以\(P(n)\)表示隔天第\(n\)個參加活動的顧客的中獎機率，則\(P(n)=\)？　　　。
(3)承(2)，\(P(n)=？\)　　　。請證明你(妳)的答案。

請教第三題如何用數學歸納法證明？還有是否可以不透過數歸直接寫出機率必定是？1／3

我想回答樓主這個提問: 第三小題是否可以不透過數歸，直接寫出機率必定是 1/3 ?

其實這個答案不難用直觀得到: 依據題目規則，初始機率會一直維持下去。或者可以這樣思考:

設想題目的白珠子其實還分為 "亮白" 與 "米白"，那麼題目中，"紅珠子"，"亮白珠子"， 與 "米白珠子" 三者是平等的。則任一顧客抽到紅珠子的機率 (即中獎機率) 必然是 1/3。

上題在n越來越大時衍生出的情況越多種，那白珠可要分成多種討論，小弟仍無法理解1／3

回復 3# Exponential 的帖子

Mmm... 其實這題也不用什麼計算。既然 "新增珠子的機率分布" 一直保持與初始情形相同 (紅 : 白 = 1 : 2)，那麼無論是第幾個顧客，中獎機率皆為 1/3。

或者就以 2# 所舉的例子，創造一個新的題目: 一開始在箱中有 "紅珠子"，"亮白珠子"， 與 "米白珠子" 各一顆，其他規則皆同。對於每一次抽獎，與原題 (同一次抽獎) 比較，紅珠子所占比例的期望值顯然是一樣的，所以中獎機率也相同。依據對稱性，這個機率自然是 1/3。

如何用數學歸納法證明