請教高三上的數學兩題

1.
\(a,b \in R\)，\( \displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \)，若\(\displaystyle 1+\frac{1}{2}\omega+\frac{1}{4}\omega^2+\ldots+\frac{1}{2^9}\omega^9=a+b \omega\)，求\(a\)？
答：\(\displaystyle \frac{439}{512}\)

2.
\(z_1,z_2 \in C\)，\(Arg(z)\)表\(z\)的主幅角，\(arg(z)\)表\(z\)的幅角，則\(\displaystyle Arg(\frac{z_1}{z_2})=Arg(z_1)-Arg(z_2)\)，\( \displaystyle arg(\frac{z_1}{z_2})=arg(z_1)-arg(z_2) \)，請問這兩式都成立或者只有哪一個成立？

第 1 題
\(\begin{align}
  & 1+\frac{1}{2}\omega +\frac{1}{4}{{\omega }^{2}}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{{{2}^{9}}}{{\omega }^{9}} \\
& =1+\frac{1}{2}\omega +\frac{1}{4}\left( -1-\omega  \right)+\cdots +\frac{1}{512} \\
& a=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{32}+\frac{1}{64}-\frac{1}{256}+\frac{1}{512} \\
\end{align}\)

第 2 題
幅角有無限多個，所以只有前者成立

謝謝thepiano 老師的解說,我明白了!