106文華高中代理

19.
若\(a,b,c\)為\(\left| \matrix{x+2&2&2 \cr 2017&2x+2018&2019\cr 2017^2&2018^2&3x+2019^2} \right|=0\)之三根，則\(abc=\)　　　。
[解答]
x 代 0，看常數項就好
這題右下角的 2019 有平方才對

想請教第1、4、5題，謝謝！
請問第1題的x不能是虛數嗎？

第1題
設四次多項式函數\(f(x)=(x^2+2x+3)(x^2+2x-2)+5x^2+10x+4\)，當\(x=\alpha\)時，\(f(x)\)有最小值\(m\)，則數對\((\alpha,m)=\)　　　。
[解答]
\(x\)應為實數
\(\begin{align}
  & f\left( x \right)={{\left( {{x}^{2}}+2x \right)}^{2}}+\left( {{x}^{2}}+2x \right)-6+5\left( {{x}^{2}}+2x \right)+4 \\
& ={{\left( {{x}^{2}}+2x \right)}^{2}}+6\left( {{x}^{2}}+2x \right)-2 \\
& ={{\left[ \left( {{x}^{2}}+2x \right)+3 \right]}^{2}}-11 \\
& ={{\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+2 \right]}^{2}}-11 \\
& ...... \\
\end{align}\)

第4題
設二次多程式\((m^2+1)x^2-4mx+2=0\)有兩正根\(\alpha\)與\(\beta\)，且\(2\alpha \beta=\alpha-3\beta\)，則\(m=\)　　　。
[解答]
\(\begin{align}
  & \alpha \beta =\frac{2}{{{m}^{2}}+1} \\
& \alpha =\frac{2m+\sqrt{2{{m}^{2}}-2}}{{{m}^{2}}+1},\beta =\frac{2m-\sqrt{2{{m}^{2}}-2}}{{{m}^{2}}+1} \\
& 2\alpha \beta =\alpha -3\beta  \\
& \frac{4}{{{m}^{2}}+1}=\frac{4\sqrt{2{{m}^{2}}-2}-4m}{{{m}^{2}}+1} \\
& ...... \\
\end{align}\)

第5題
\((1+2x)^n\)展開式中\(x^3\)的係數為\(a_n(n\ge 3)\)，則\(\displaystyle \sum_{n=3}^{100}\frac{1}{a_n}=\)　　　。
[解答]
\(\begin{align}
  & {{a}_{n}}=C_{3}^{n}\times {{2}^{3}}=\frac{8n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{6} \\
& \frac{1}{{{a}_{n}}}=\frac{3}{4}\times \frac{1}{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}=\frac{3}{8}\times \left[ \frac{1}{\left( n-2 \right)\left( n-1 \right)}-\frac{1}{\left( n-1 \right)n} \right] \\
& ...... \\
\end{align}\)

謝謝thepiano老師！

想請教第12、13、16、20題，謝謝！

12,
坐標平面上，圓\(C\)：\((x-7)^2+(y+4)^2=5\)，且\(A\)點坐標為\((5,2)\)。設\(P\)為\(y\)軸上的動點，\(Q\)為圓\(C\)上的動點，則\(\overline{PA}+\overline{PQ}\)的最小值為　　　。

13,
在同一平面上，有兩個三角形\(\Delta ABC\)和\(\Delta PQR\)，若\(\vec{PA}+2\vec{PB}+3\vec{PC}=\vec{CA}\)，\(\vec{QA}+2\vec{QB}+3\vec{QC}=2\vec{AB}\)，\(\vec{RA}+2\vec{RB}+3\vec{RC}=3\vec{BC}\)，則\(\displaystyle \frac{\Delta ABC面積}{\Delta PQR面積}=\)　　　。

16,
若\(\displaystyle f(x)=x^4-2x^3+3x-(\int_2^x (3t^3-7t^2+5t-1)dt)-6\)，則\(\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(2+3h)}{4h}=\)　　　。

20.
設\(A(-5,2)\)、\(B(4,14)\)，\(P\)為動點，若\(\Delta ABP\)之周長為54，則\(\Delta ABP\)面積之最大值為　　　平方單位。

謝謝 koeagle老師！