空間中A(10,3,4),B(4,15,3),P(a,0,0),Q(0,b,0),求PA+PQ+QB最小值?

空間中A(10,3,4),B(4,15,3),P(a,0,0),Q(0,b,0),求PA+PQ+QB最小值?

答案25

謝謝各位老師

令直角坐標平面上三點 \(A(10,-5), B(a,0), C(0,b), D(-5,15)\)

題目等同求 \(\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}\) 三線段和之最小值。

當 \(A,B,C,D\) 四點共線的時候，最小值為 \(\overline{AD} = 25\)

\(\begin{align}
  & \overline{PA}+\overline{PQ}+\overline{QB} \\
& =\sqrt{{{\left( a-10 \right)}^{2}}+{{5}^{2}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left( b-15 \right)}^{2}}} \\
\end{align}\)

看成\(x\)軸上一點\(C\left( a,0 \right)\)，\(y\)軸上一點\(D\left( 0,b \right)\)，\(E\left( 10,5 \right),F\left( 5,15 \right)\)
求\(\overline{CE}+\overline{CD}+\overline{DF}\)的最小值

作\(E\left( 10,5 \right)\)關於\(x\)軸的對稱點\(E'\left( 10,-5 \right)\)；作\(F\left( 5,15 \right)\)關於\(y\)軸的對稱點\(F'\left( -5,15 \right)\)
則\(\overline{E'F'}\)的長即為所求