求平面夾角
各位老師,請教底下這題
答案有兩個,另一個為y-z=1
請問怎麼寫出另一個答案
(我用截距式算出一組)
設平面\(E\)通過點\(A(0,1,0)\)，\(B(0,0,-1)\)，且與平面\(F\)：\(x+z-3=0\)有一夾角為\(60^{\circ}\)，試求平面\(E\)的方程式。
解
設平面\(E\)的方程式為\(\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-1}=1\)，即\(x+ay-az-a=0\)
因此，平面\(E\)的一個法向量為\(\vec{n_1}=(1,a,-a)\)
又平面\(F\)的一個法向量為\(\vec{n_2}=(1,0,1)\)，且平面\(E\)與\(F\)有一夾角為\(60^{\circ}\)
故得\( \displaystyle 60^{\circ}=\left| \frac{\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}}{\left| \vec{n_1} \right| \left| \vec{n_2} \right|} \right|=\frac{1}{2} \)
\( \Rightarrow \displaystyle \frac{\left| 1 \cdot 1+a \cdot 0+(-a)\cdot 1 \right|}{\sqrt{1^2+a^2+(-a)^2}\times \sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{\left| 1-a \right|}{\sqrt{2a^2+1}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2} \)
\( \Rightarrow 2(2a^2+1)=4(1-a)^2 \)
解得\( \displaystyle a=\frac{1}{4} \)
故得平面\(E\)的方程式為\( \displaystyle \frac{x}{\frac{1}{4}}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-1}=1 \)
即\( 4x+y-z-1=0 \)
