104市立大同三招

我記得一點題目，但有幾題忘了。

請問有考的高手們，檔案中

第1題，方程式對嗎？
第3題，原題目的數字是？

1.
解方程式\( \displaystyle x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}} \)的實數解。
(99鳳新高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1492&extra=&page=2)

第1題後面~~如果是減號~~應該是考古題吧~~
99鳳新有考過

第3題該不會後面數字1個是16~~1個是25吧
這個好像也今年嘉女考類似的

PS:看2樓大大的留言吧

請教第2題，謝謝。
平面 x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, y = 1, z = 1 所圍成之正六面體, 正六面體上
A(1,1/2, t), B(1/2, 1, t) 兩點, 延正六面體連接 A, B 之最短路徑不只一條, 求出 t 之值.

第2題. 比較短的路徑有
(1) 從平面 x=1 經過 \( x=y=1 \) 直接到平面 y=1 (不經過其它表面)，這種路徑最短是 \( \frac12 + \frac12 = 1 \)

(2) 從平面 x=1 到 z=1，再到 y=1 (不經過其它表面)

(3) 從平面 x=1 到 z=0，再到 y=1 (不經過其它表面)

(2), (3)：當 \( t>\frac12 \) 時，(2)中最短的路徑比 (3) 的短；反之 \( t < \frac 12 \) 時，(2) 最短的路徑比 (3) 的長

先假設 \( t<\frac 12 \)，將 (3) 的路徑畫在正六面上，並攤開正六面體，做得原先在 \( x=1 \) 及 \( y=1 \) 的兩個表面，轉至 \( z=1 \) 平面上。
(不好意思，懶得畫圖，請自行畫圖或想像)

此時可發現 (3) 中的最短路徑為攤開中的兩點相連，路徑長 \( = \sqrt{2} (\frac12 +t ) \)

有最短路徑不只一條得 \( 1 = \sqrt{2} (\frac12 +t) \Rightarrow t = \frac{\sqrt{2} -1}{2} \)

同樣的在 \( t>\frac12 \) 的情況，可得 \( t = \frac{3 - \sqrt{2}}{2} \)

而 \( t= \frac12 \)，最短路徑僅 (1) 一條，不合。

故 \( t = \frac{\sqrt{2} -1}{2} \) 或 \( \frac{3 - \sqrt{2}}{2} \)

可是最短路徑不是有可能比 1 短嗎？

嗯，最短路徑有可能比 1 短，如 \(0< t < \frac{\sqrt{2} -1}{2} \) 時，最短路徑就只有 (3) 那類走 \( z=0 \) 的唯一 一條，

所以這種情況也不符合題意的不只一條

謝謝寸絲師及鋼琴師，配合畫圖之後，終於瞭解了，謝謝寸絲師說明的很詳細