請教兩題（絕對值與整數論）

請教兩題,如附件,謝謝!!

1.
實數 \(a,b,c\) 滿足 \(a+b+c=0, abc=54\), 求 \(\left| a \right|+\left| b \right|+\left| c \right|\) 的最小值?
答案：\(12\)

2.
已知 \(p=abcd\) 是一個四位數, 若 \(441abcd\) 為一個完全平方數, 求 \(p\) 值為何？
答案： \(4201\) 或 \(8404\)

#1
易知a>=0, b,c<=0
a= -(b+c) ,且|a|=|-(b+c)|=|b|+|c|
|a|+|b|+|c|=2(|b|+|c|)>=4(|b|*|c|)^0.5  (算幾不等式)
"="成立表示|b|=|c| (b=c) ,此時a= -(b+c)= -2c 代入abc=54
-2c^3=54 ,解得c= -3 ,b= -3 ,a= 6
所求最小值為6+3+3=12

#2
s^2+2st+t^2=(s+t)^2
依題意可知s^2=44100 (s=2100) ,p=2st+t^2
當t=1時p=2*2100*1+1^2=4201
當t=2時p=2*2100*2+2^2=8404
當t=3時p=2*2100*3+3^2=12609(爆了)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2015-1-17 01:15 PM 編輯 ]

請參考

[ 本帖最後由 tsyr 於 2015-1-17 01:14 PM 編輯 ]

畫蛇添足一下……

第1題
易知三數為二正一負
不失一般性，設\(a>0,b<0,c<0\)
\(\begin{align}
  & a=\left( -b \right)+\left( -c \right)\ge 2\sqrt{\left( -b \right)\left( -c \right)}=2\sqrt{\frac{54}{a}} \\
& {{a}^{2}}\ge \frac{216}{a} \\
& a\ge 6 \\
& \left| a \right|+\left| b \right|+\left| c \right|=a+\left( -b \right)+\left( -c \right)=2a\ge 12 \\
\end{align}\)

第2題
\(\begin{align}
  & {{2100}^{2}}=4410000<441abcd<{{\left( 2100+3 \right)}^{2}}={{2100}^{2}}+12600+9 \\
& abcd={{2101}^{2}}-{{2100}^{2}}=4201 or ={{2102}^{2}}-{{2100}^{2}}=8404\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-1-17 03:39 PM 編輯 ]