103高中數學能力競賽

102 新北市高中聯招計算第一題
可參考
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3032

謝謝寸絲大費神幫解，豁然開朗，感激不盡! 好有趣

不好意思，可以請教嘉義區的筆試一第二和三題嗎?

謝謝!

第三題
令\(\tan \alpha =x,\tan \beta =y,\tan \gamma =z\)
題目轉為：\(0<x,y,z<1,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=\sqrt{3}\)，證明\(\frac{2x}{1-{{x}^{2}}}+\frac{2y}{1-{{y}^{2}}}+\frac{2z}{1-{{z}^{2}}}\ge 9\)
\(\begin{align}
  & \frac{2x}{1-{{x}^{2}}}+\frac{2y}{1-{{y}^{2}}}+\frac{2z}{1-{{z}^{2}}} \\
& =\frac{2{{x}^{2}}}{x-{{x}^{3}}}+\frac{2{{y}^{2}}}{y-{{y}^{3}}}+\frac{2{{z}^{2}}}{z-{{z}^{3}}} \\
& \ge \frac{2{{x}^{2}}}{\frac{2}{9}\sqrt{3}}+\frac{2{{y}^{2}}}{\frac{2}{9}\sqrt{3}}+\frac{2{{z}^{2}}}{\frac{2}{9}\sqrt{3}} \\
& =9 \\
\end{align}\)

\(x-{{x}^{3}}\le \frac{2}{9}\sqrt{3}\)這部分可用微分或算幾不等式去做

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-3-13 12:04 PM 編輯 ]

對耶!真是個好做法!
感謝!!

第二題已和同學討論出來了
只要取BC中點，然後找出五點共圓就容易證明了

用費馬小定理就好了
5-1=4
4的正因數有1 ,2 ,4
正因數分別加1，為2 ,3 ,5，其中2 ,3 ,5是質數
故n^5-n為2,3,5的公倍數，即n^5-n為30的倍數

同理(類題)，
73-1=72
72的正因數有1 ,2 ,3 ,4 ,6 ,8 ,9 ,12 ,18 ,24 ,36 ,72
正因數分別加1，為2 ,3 ,4 ,5 ,7 ,9 ,10 ,13 ,19 ,25 ,37 ,73，其中2 ,3 ,5 ,7 ,13 ,19 ,37 ,73是質數
故n^73-n為2 ,3 ,5 ,7 ,13 ,19 ,37 ,73的公倍數，即n^73-n為‭140100870‬的倍數
(不過考試時可不能只寫這樣，還得證明為什麼可以這樣操作才行)