101研究用試卷

坐標空間中，一直圓柱\(\Omega\)以\(z\)軸為中心軸，被\(xy\)平面所截圖形為一個以原點\(O\)為圓心且半徑為1的圓。平面\(E\)：\(z=-3x+4y+15\)截\(\Omega\)得一曲線\(\Gamma\)，其部分圖形如下所示，令\(A\)、\(B\)分別表示\(\Gamma\)上\(z\)坐標值為最、最小的點，則\(\overline{AB}=\)　　　。(表為最簡根式)

想請教這題要如何知道A、 B兩點座標值?

\(\begin{align}
  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 \\
& {{\left( -3x+4y \right)}^{2}}\le \left[ {{\left( -3 \right)}^{2}}+{{4}^{2}} \right]\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=25 \\
& -5\le -3x+4y\le 5 \\
\end{align}\)
Z之最大值為20，最小值為10
所求\(=\sqrt{{{\left( 20-10 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{26}\)

要求出A和B的座標只要解以下的聯立方程
\(\begin{align}
  & \left\{ \begin{align}
  & 20=-3x+4y+15 \\
& \frac{-3}{x}=\frac{4}{y} \\
\end{align} \right. \\
& \left\{ \begin{align}
  & 10=-3x+4y+15 \\
& \frac{-3}{x}=\frac{4}{y} \\
\end{align} \right. \\
\end{align}\)

感謝鋼琴師
柯西!!