求三角形面積

已知\(A\)、\(B\)、\(C\)不共線，且滿足\(|\;\vec{AB}|\;^2-\vec{AB}\cdot\vec{AC}=6\)，\(|\;\vec{BC}|\;^2-\vec{BC}\cdot \vec{BA}=30\)，\(|\;\vec{CA}|\;^2-\vec{CA}\cdot \vec{CB}=19\)，試求\(\Delta ABC\)面積=　　　。

原式即為
c^2-bc*cosA=6
a^2-ac*cosB=30
b^2-ab*cosC=19
將cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
    cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
    cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
帶入整理可得
a^2+c^2-b^2=12
a^2+b^2-c^2=60
b^2+c^2-a^2=38
三式相加可得 a^2+b^2+c^2=110
可解出
b^2=49
c^2=25
a^2=36
故三角形之三邊長為a=6,b=7,c=5
由海龍公式可得面積為sqrt[9(9-6)(9-5)(9-4)]= 6sqrt(6)

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