國內IMO培訓題目

為了解決小弟的同學們的問題
特別在此開個特區
方便討論與上傳資料

103.8.2將題目重新打字
問題一：已知三角形的三邊長為a,b,c且滿足\( ab+bc+ca=3 \)。試證
$$ 3 \le a+b+c \le 2 \sqrt{3} $$
解：為了證第一個不等式，考慮
$$ \displaystyle (a+b+c)^2=\frac{1}{2}\{\; (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+3(ab+bc+ca) \}\; $$,
由已知條件\( ab+bc+ca=3 \)，可得\( (a+b+c)^2 \ge 9 \)，即\( a+b+c \ge 3 \)。　　　　　　　(1)
另外，因為a,b,c為三角形的三邊長，可得
$$ a(b+c)+b(a+c)+c(b+a) \ge a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca). $$
再由已知條件\( ab+bc+ca=3 \)，可得\( 6 \ge (a+b+c)^2-6 \)，即\( a+b+c \le 2 \sqrt{3} \)　　　　(2)
結合(1)與(2)，得證。




[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-8-2 10:40 AM 編輯 ]

請享用~~

103.8.2將題目重新打字
問題二：2007張卡片，每一張都標上某個介於1到2007之間(含)的自然數。若任取某些張卡片，其標示的數字和都不會是2008的倍數，證明這2007張卡片所標示的數字都一樣。
解：令\( a_k \)表示第k張卡片所標示的數字，且令
$$ S_n=\sum_{k=1}^n a_k，n=1,2,\ldots,2007. $$
因任取某些張卡片，其標示的數字和都不會是2008的倍數，所以當我們以2008除\( S_n \)時可得不同的餘數且這些餘數必是\( 1,2,\ldots,2007 \)的某種秩序。因此，存在\( i \in \{; 1,2,\ldots,2007 \}; \)使得
$$ a_2 \equiv s_i \pmod{2008}. $$
如果\( i>1 \)則產生矛盾。(因\( s_i-a_2 \)是2008的倍數)
故\( a_2 \equiv s_1=a_1 \)，可得\( a_2 \equiv a_1 \pmod{2008} \)，即\( a_2=a_1 \)，由\( a_k \)的循環性，我們可得所有的\( a_i \)皆相同。





[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-8-2 11:13 AM 編輯 ]

2014年第55屆國際數學奧林匹亞競賽
我國排名第三 獲四金二銅
金牌獎 - 吳博生(建中二年級)、趙庭偉(建中三年級)、陳誼廷(Irvington High School三年級)、余竑勳(天母國中三年級)
銅牌獎 - 陳柏叡(雄中二年級)、吳邦誠(雄中二年級)
我國代表隊總成績 192 分，在 101 個參賽國中名列第3，為我國自 1992 年參賽以來所獲得之最佳成績。其中吳博生同學與兩位他國選手並列世界第一 (共 560 位選手參賽)。

台灣真厲害阿~~~

今年imo題目也不簡單呢
歡迎有興趣的來玩玩看!


103.8.2將題目重新打字
問題1.　設\( a_0<a_1<a_2<\ldots \)是無窮正整數數列。證明：存在唯一的整數\( n \ge 1 \)，滿足
$$ \displaystyle a_n<\frac{a_0+a_1+\ldots+a_n}{n} \le a_{n+1} $$

問題2.　設\( n \ge 2 \)為整數。考慮一個由\( n^2 \)個單位方格所組成的\( n \times n \)棋盤。將n只城堡擺在棋盤的方格中，使得每一列及每一行都恰有一只城堡，如此稱為和平擺法。試找出最大的正整數k，使得對每一種n只城堡的和平擺法，都能找到\( k \times k \)的正方形，它的\( k^2 \)個單位方格中都沒有城堡。

問題3.　在凸四邊形\( ABCD \)中，\( ∠ABC=∠CDA=90^{\circ} \)。設H點是由A點向\( \overline{BD} \)引垂線的垂足。令S,T兩點分別為於\( \overline{AB} \)邊與\( \overline{AD} \)邊上，滿足：H落在三角形SCT內部，且
$$ ∠CHS-∠CSB=90^{\circ}，∠THC-∠DTC=90^{\circ}. $$
證明：直線\( \overline{BD} \)是三角形TSH外接圓的切線。

問題4.　設P,Q兩點落在銳角三角形ABC的\( \overline{BC} \)邊上，滿足\( ∠PAB=∠BCA \)及\( ∠CAQ=∠ABC \)。而M,N兩點分別落在直線\( \overline{AP} \)與\( \overline{AQ} \)上，使得P為\( \overline{AM} \)的中點、Q為\( \overline{AN} \)的中點。
證明：直線\( \overline{BM} \)與\( \overline{CN} \)的交點落在三角形ABC的外接圓上。

問題5.　對每個正整數n，開普敦銀行都發行幣值為\( \displaystyle \frac{1}{n} \)的硬幣。今給定有限多個這樣的硬幣(其幣值不一定不同)，其總值最多為\( \displaystyle 99+\frac{1}{2} \)。證明：可以將這些硬幣分成100堆或更少堆，使得每一堆硬幣的總值最多為1。

問題6.　平面上的一組直線，若其中任兩條不平行、任三條不共點，則稱這組直線位於一般位置。位於一般位置的直線組，將平面分割成若干區域，其中有些區域的面積是有限的；這些區域稱為此直線組的有限區域。證明：對任意足夠大的n，皆可以在為於一般位置的n條直線組裡，選取至少\( \sqrt{n} \)條直線著上藍色，使得此直線組沒有任何有限區域的邊界完全是藍色。
註：證出的結果中，如果\( \sqrt{n} \)換成了\( c \sqrt{n} \)，會依常數c之值給予分數。

是嗎?原來有這件事
真是抱歉，看來我要好好學一下打字了
不然還會勞煩到各位!

萬分感謝bugmens幫忙打字